Página 198 - Macroeconomía: teoría y políticas
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6.4. Modelo de dos per´ıodos*
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Las condiciones de primer orden de este problema establecen que la deri-
vada del lagrangiano con respecto a las variables de decisi´on sea igual a 0, con
lo que llegamos a:
@
L
@C
1
= 0
)
u
0
(
C
1
) =
∏
(6.12)
@
L
@C
2
= 0
)
u
0
(
C
2
) =
∏
1 +
Ω
1 +
r
(6.13)
Estas condiciones se pueden combinar en la siguiente
ecuaci´on de Euler:
u
0
(
C
1
)
u
0
(
C
2
)
=
1 +
r
1 +
Ω
(6.14)
Esta ecuaci´on determina la pendiente de la funci´on consumo. Tenemos
as´ı una ecuaci´on para dos inc´ognitas,
C
1
y
C
2
. Si quisi´eramos determinar la
funci´on consumo para cada per´ıodo, y por lo tanto obtener una expresi´on para
el ahorro, deber´ıamos usar la restricci´on presupuestaria.
Si la tasa de inter´es es mayor que la tasa de descuento, el individuo tendr´a un
consumo creciente. Recuerde que la utilidad marginal es decreciente, en con-
secuencia si la raz´on es mayor que 1,
u
0
(
C
1
)
> u
0
(
C
2
), es decir,
C
2
debe ser
mayor que
C
1
. El individuo prefiere posponer el consumo por la v´ıa del ahorro,
ya que a medida que
r
aumenta el precio del futuro se reduce.
Para relacionar el precio del futuro con la tasa de inter´es basta con examinar
la ecuaci´on
. Multiplicando la restricci´on presupuestaria por 1 +
r
, y
escribiendo el lado derecho en t´erminos de precios relativos, tendremos que
corresponde a
p
1
C
1
+
C
2
. Entonces,
p
1
representa el precio del consumo en
el per´ıodo 1 en t´erminos del consumo en el per´ıodo 2. Por lo tanto cuando
r
aumenta el presente se encarece y el futuro se abarata.
Hasta ahora solo hemos descrito la funci´on consumo analizada en la secci´on
con un poco m´as de matem´aticas. Sin embargo, ahora estamos equipados
para resolver el equilibrio general. En equilibrio general se cumplen las siguien-
tes condiciones:
•
Los consumidores maximizan utilidad. Esto es lo que hemos hecho hasta
ahora.
•
Los productores maximizan utilidades de sus empresas. En este caso es
irrelevante, ya que la producci´on est´a dada.
•
Los mercados est´an en equilibrio de oferta y demanda.
Las dos primeras condiciones son las que definen las ofertas y demandas,
mientras la tercera establece que las ofertas y demandas se equilibran. Dadas
estas condiciones, solo nos queda agregar que
Y
1
=
C
1
e
Y
2
=
C
2
, lo que
