Página 206 - Macroeconomía: teoría y políticas
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6.4. Modelo de dos per´ıodos*
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Consumidores-productores: Teorema de separaci´on de Fisher
Hasta ahora supusimos que las empresas son entidades separadas de los
consumidores. Ahora, para simplificar, veremos qu´e pasa si quien consume es
tambi´en quien produce (granjeros). Este problema es m´as simple, y demostra-
remos que la soluci´on es id´entica a la del caso anterior.
En este caso, el individuo tiene dos activos al inicio del per´ıodo
t
,
A
t
que es
un activo financiero que rinde
r
t
y capital,
K
t
que lo puede usar para producir.
En consecuencia, su restricci´on presupuestaria en cualquier per´ıodo es:
(1 +
r
t
)
A
t
+
F
(
K
t
) +
K
t
(1
°
±
) =
C
t
+
K
t
+1
+
A
t
+1
(6.36)
En nuestro modelo de dos per´ıodos, suponemos que el individuo nace sin
activos financieros,
A
1
= 0; solo tiene un stock de capital inicial. Dado que el
mundo se acaba en el per´ıodo 2, el individuo no dejar´a activos, o sea
A
3
= 0.
Adem´as, hemos ignorado
L
de la funci´on de producci´on, ya que la oferta de
trabajo es fija.
La restricci´on presupuestaria en el per´ıodo 1 ser´a:
F
(
K
1
) +
K
1
(1
°
±
) =
C
1
+
K
2
+
A
2
(6.37)
El individuo decidir´a la inversi´on que le servir´a para aumentar el stock de
capital, de modo que podemos escribir la restricci´on como (dado que
K
2
=
I
1
+
K
1
(1
°
±
)):
F
(
K
1
) =
C
1
+
I
1
+
A
2
(6.38)
Por su parte, la restricci´on en el per´ıodo 2 es:
(1 +
r
)
A
2
+
F
(
K
1
(1
°
±
) +
I
1
) +
K
1
(1
°
±
)
2
+
I
1
(1
°
±
) =
C
2
(6.39)
Poniendo ambas restricciones juntas, v´ıa la eliminaci´on de
A
2
, llegamos a
la siguiente restricci´on intertemporal:
F
(
K
1
) +
F
(
K
1
(1
°
±
) +
I
1
) +
K
1
(1
°
±
)
2
1 +
r
=
C
1
+
I
1
+
C
2
°
I
1
(1
°
±
)
1 +
r
(6.40)
El consumidor-productor elegir´a
C
1
,
C
2
e
I
1
de modo de maximizar su
funci´on de utilidad
sujeto a la restricci´on
. Formando el lagrangiano
y maximizando llegaremos a las siguientes condiciones de primer orden:
u
0
(
C
1
) =
∏
(6.41)
u
0
(
C
2
) =
∏
1 +
Ω
1 +
r
(6.42)
F
K
(
K
2
) =
r
+
±
(6.43)
