Página 379 - Macroeconomía: teoría y políticas
Versión de HTML Básico
358
Cap´ıtulo 14. Crecimiento econ´omico con ahorro ´optimo*
soluci´on a este problema se obtiene usando el principio del m´aximo de opti-
mizaci´on din´amica para lo cual escribimos el hamiltoniano en valor presente
asociado a este problem
H
= [
u
(
c
t
) +
∏
t
(
w
t
+ (
r
t
°
n
)
a
t
°
c
t
)]
e
°
(
Ω
°
n
)
t
(14.6)
Las condiciones de primer orden de este problema son (los sub´ındices
t
se
omiten en lo que sigue a no ser que sea estrictamente necesario):
@
H
@c
= 0
(14.7)
@
H
@a
=
°
d
[
∏e
°
(
Ω
°
n
)
t
]
dt
(14.8)
Esto conduce a las siguientes ecuaciones:
u
0
(
c
) =
∏
∏
(
r
°
n
) =
°
( ˙
∏
°
(
Ω
°
n
)
∏
)
Combinadas (eliminando
∏
), estas ecuaciones nos llevan a:
˙
c
c
=
°
u
0
(
c
)
u
00
(
c
)
c
(
r
°
Ω
)
(14.9)
A esta ecuaci´on debemos agregar adem´as la condici´on de transversalidad:
l´ım
t
!1
∏
t
a
t
e
°
(
Ω
°
n
)
t
= 0
(14.10)
M´as adelante esto nos servir´a para eliminar algunas trayectorias que satis-
facen
, pero no son ´optimas. Esta condici´on es importante y no es m´as
que una extensi´on de las cl´asicas condiciones de Kuhn-Tucker aplicadas en el
l´ımite. Si los activos tienen alg´un valor en t´erminos de utilidad,
∏
es positivo,
entonces no se dejar´an activos, es decir,
a
t
tender´a a 0. Si los activos no tienen
valor en t´erminos de utilidad, entonces
∏
ser´a 0
.
De
la tasa de crecimiento del consumo depende exclusivamente de
las preferencias del individuo. El t´ermino
°
u
0
(
c
t
)
/
[
u
00
(
c
t
)
c
t
] corresponde a la
elasticidad de sustituci´on intertemporal
. Esta indica cu´an dispuesto est´a el
individuo a sustituir consumo de hoy por consumo futuro. Gr´aficamente, el
4
Ver ap´endice
de este cap´ıtulo sobre optimizaci´on din´amica en tiempo continuo, en donde
se derivan las condiciones de optimalidad.
5
Ver ap´endice
para mayor intuici´on de la condici´on de holgura complementaria.
6
El inverso de la tasa de sustituci´on intertemporal es el coeficiente de aversi´on al riesgo. Una dis-
cusi´on de la elasticidad intertemporal de sustituci´on se realiza en la secci´on
y sus implicancias
sobre el precio de los activos en
De Gregorio - Macroeconomía
