Página 378 - Macroeconomía: teoría y políticas
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14.1. El modelo de Ramsey: Comportamiento de hogares y empresas
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a tratar de suavizar su consumo. Adem´as,
u
(
c
t
) cumple las condiciones de Ina-
da, esto es l´ım
c
t
!
0
u
0
(
c
t
) =
1
, l´ım
c
t
!1
u
0
(
c
t
) = 0. Finalmente,
Ω
representa la
tasa de descuento de la utilidad de cada individuo. En consecuencia, la funci´on
objetivo corresponde a la utilidad agregada del consumo familiar, donde cada
individuo recibe
u
de utilidad y hay
N
individuos por hogar. Normalizando
N
0
= 1, tenemos que el objetivo de la familia es:
m´ax
{
c
t
}
1
t
=0
U
=
Z
1
0
u
(
c
t
)
e
°
(
Ω
°
n
)
t
dt
(14.2)
Cada persona provee una unidad de trabajo(sevicio laboral), a cambio de
lo cual recibe un salario
w
. Llamaremos
r
t
a la tasa de inter´es real de mercado.
Seguiremos usando la notaci´on ˙
X
t
para representar la derivada de cualquier
variable
X
respecto de
t
, es decir
dX
t
/dt
. Por lo tanto, la restricci´on presu-
puestaria que enfrentan las familias en cada per´ıodo es:
w
t
N
t
+
r
t
A
t
=
C
t
+ ˙
A
t
(14.3)
Donde
A
t
son los activos que posee la familia en el instante
t
y ˙
A
t
representa
la acumulaci´on-desacumulaci´on (ahorro-desahorro) que la familia realiz´o du-
rante el per´ıodo
t
.
Dividiendo por
N
t
, el n´umero de individuos-trabajadores de la econom´ıa,
y despu´es de un poco de ´algebra se llega a la siguiente restricci´on per c´apita
:
˙
a
t
=
w
t
+
r
t
a
t
°
na
t
°
c
t
(14.4)
La intuici´on detr´as de la restricci´on es que el ahorro/desahorro del individuo
es igual a su salario,
w
, m´as los intereses de sus ahorros,
ra
, menos los activos
que debe acumular para mantener el nivel de activos per c´apita, menos el
consumo.
Otra de las condiciones que tenemos que imponer a este problema, antes de
encontrar la soluci´on, es que las familias no pueden terminar con deuda en el
infinito. Esto ya fue discutido en los cap´ıtulos de la parte
cuando vimos las
restricciones presupuestarias intertemporales de hogares y gobierno. Esta es la
conocida condici´on de juego no-Ponzi. Formalmente significa que (expresado
en tiempo continuo):
l´ım
t
!1
A
t
e
°
rt
∏
0
(14.5)
Como no es racional dejar activos positivos al final del horizonte, esta restric-
ci´on se cumplir´a con una igualdad.
Por lo tanto, las familias resuelven el problema de maximizar la utilidad
del consumo del individuo representativo,
, sujeto a
y
. La
3
Esto viene del hecho, ya usado antes en el modelo del Solow, de que si
x
=
X/N
, tenemos que
˙
x
= ˙
X/N
°
X
˙
N/N
2
= ˙
X/N
°
xn
.
