Página 382 - Macroeconomía: teoría y políticas
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14.1. El modelo de Ramsey: Comportamiento de hogares y empresas
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Donde
K
t
es la cantidad de capital que hay al inicio del per´ıodo
t
, y
L
t
es
la cantidad de trabajo empleada durante el per´ıodo
t
, igual a la poblaci´on
N
t
.
En t´erminos per c´apita, o m´as bien dicho por unidad de trabajo, esta es la
misma funci´on que vimos en el cap´ıtulo
es decir, la podemos escribir como
f
(
k
).
Supondremos que no hay crecimiento de la productividad de los factores.
Este supuesto es para facilitar la presentaci´on, porque tal como vimos en el
cap´ıtulo
la notaci´on se complica. En todo caso, asumir el crecimiento de la
productividad total de los factores ayudar´ıa a tener crecimiento de largo plazo
m´as all´a del crecimiento de la poblaci´on
. Las firmas arriendan el capital y
el trabajo. Se podr´ıa pensar en las firmas como entidades que lo ´unico que
tienen es acceso a la tecnolog´ıa. La tasa de arriendo del capital es
R
. Por otra
parte, el capital se deprecia a una tasa
±
. Por lo tanto, la tasa de retorno real
del capital es igual a la tasa de inter´es de mercado:
r
=
R
°
±
. Las firmas
demandan factores hasta el punto en que la productividad marginal del factor
es igual a su costo. Para el capital, esta condici´on es:
F
K
(
K, L
) =
r
+
±
(14.14)
En t´erminos per c´apita, esto es igual a
f
0
(
k
), es decir
:
f
0
(
k
) =
r
+
±
(14.15)
Para el trabajo, podemos encontrar su productividad marginal a partir
de
. Para ello consideramos que las funciones homog´eneas de grado 1
cumplen con el teorema de Euler, que nos dice que
F
K
K
+
F
L
L
=
F
. Por lo
tanto, tenemos que la decisi´on ´optima de demanda de trabajo, expresada en
t´erminos per c´apita, estar´a dada por:
w
=
f
(
k
)
°
kf
0
(
k
)
Usando
, esta se reduce a:
w
=
f
(
k
)
°
k
(
r
+
±
)
(14.16)
Antes de analizar el equilibrio de la econom´ıa es ´util destacar que hemos
hecho un supuesto institucional espec´ıfico, simple, pero que podr´ıa ser poco
realista: que las empresas son cajas negras que producen dado los factores; no
invierten ni nada por el estilo, solo arriendan el capital existente en el mer-
cado. Esto facilita el ´algebra y los resultados son independientes del esquema
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Barro y Sala-i-Martin (2003) presentan el modelo de Ramsey con progreso t´ecnico.
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Esto viene de dividir el argumento de
por
L
, notando que la derivada de una funci´on
homog´enea de grado 1, es homog´enea de grado 0, es decir si
G
(
x
1
, x
2
) es homog´enea de grado 0 se
tiene que
G
(
∏x
1
, ∏x
2
) =
G
(
x
1
, x
2
). M´as en general, una funci´on homog´enea de grado
n
tiene una
derivada homog´enea de grado
n
°
1.
