Página 134 - Macroeconomía: teoría y políticas
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4.6. Incertidumbre e inversi´on*
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Reemplazando esta expresi´on en la funci´on de producci´on, tendremos que:
Y
=
AK
Æ
µ
(1
°
Æ
)
Y
P
W
∂
1
°
Æ
=
A
1
/Æ
K
(1
°
Æ
)
(1
°
Æ
)
/Æ
µ
P
W
∂
(1
°
Æ
)
/Æ
Usando ahora el hecho de que
PMg
K
=
ÆY/K
, multiplicando por
P
, y
arreglando t´erminos, tenemos que la inversi´on se realizar´a si:
P
k
∑
Æ
(1
°
Æ
)
(1
°
Æ
)
/Æ
E
t
∑
A
1
/Æ
P
1
/Æ
W
(1
°
Æ
)
/Æ
(
r
+
±
)
∏
(4.17)
Entonces, la pregunta que debemos responder es qu´e pasa con el valor
esperado de la expresi´on entre par´entesis cuadrado del lado derecho de
cuando la incertidumbre aumenta.
Consideremos el caso en que el precio del producto y la productividad son
inciertos (estoc´asticos). Si la funci´on fuera lineal en
P
y
A
y ambas variables
fueran independientes (su covarianza es 0), entonces un aumento de la incer-
tidumbre no tendr´ıa efectos, pues la expresi´on del lado derecho depender´ıa
solo de los valores esperados y no de su variabilida
Ahora bien, cuando
la funci´on no es lineal, la varianza de las variables aleatorias afecta el valor
esperado. La desigualdad de Jensen dice que, si la funci´on es convexa, la in-
certidumbre aumenta el valor esperado, mientras que si la funci´on es c´oncava,
el valor esperado se reduce con la incertidumbre
.
Para entender la desigualdad de Jensen, que es muy usada en macroeco-
nom´ıa y finanzas, basta con observar la figura
El panel de la izquierda es
una funci´on convexa, y el de la derecha es una c´oncava. Considere la funci´on
convexa, y suponga que la utilidad es
F
, que depende de una variable
x
que
fluct´ua. Suponga un caso en que la varianza es 0; es decir, hay certeza del va-
lor de
x
, y ´este es E
x
. Entonces, el valor de la utilidad es
F
c
(certeza). Ahora
suponga que
x
fluct´ua entre los valores representados por la l´ınea recta, y el
valor esperado es el mismo. En esta figura se ve claramente que la utilidad
esperada de las fluctuaciones (E
F
(
x
) =
F
i
) es mayor que la utilidad del valor
de
x
esperado (
F
(E
x
) =
F
c
). Podr´ıamos aumentar la incertidumbre, es decir,
desplazar la recta hacia arriba, y el valor esperado de la mayor volatilidad
resultar´ıa en mayor utilidad esperada. Lo contrario ocurre en el caso de una
funci´on c´oncava, ya que
F
c
> F
i
. En este caso, la estabilidad es preferible a
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Si tenemos dos variables independientes
X
e
Y
, entonces E
XY
= E
X
E
Y
, y el resultado es
independiente de las varianzas.
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Formalmente esto es: E
f
(
X
)
>
[
<
]
f
(E
X
) si
f
es convexa [c´oncava], es decir, si
f
00
>
[
<
]0.
