Página 141 - Macroeconomía: teoría y políticas
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Cap´ıtulo 4. Inversi´on
Para simplificar, supondremos que no hay depreciaci´on,
±
= 0. Escribiendo
solo los t´erminos donde aparece
K
t
, tendremos que:
°
1
(1 +
i
)
t
°
1
P
k,t
°
1
(
K
t
°
K
t
°
1
+
C
(
K
t
°
K
t
°
1
)) +
+
1
(1 +
i
)
t
[
P
t
f
(
K
t
)
°
P
k,t
(
K
t
+1
°
K
t
+
C
(
K
t
+1
°
K
t
))]
(4.22)
Para simplificar el ´algebra, supondremos que el precio relativo del capital
respecto del precio de los bienes no cambia en el tiempo. Es decir, podemos
asumir que
P
k,t
=
P
t
. Adem´as, si dividimos toda la expresi´on anterior por
P
t
°
1
y simplificamos por 1
/
(1 +
i
)
t
°
1
, llegamos a que, para maximizar utilidades
con respecto al capital en
t
, se debe derivar e igualar a 0 la siguiente expresi´on:
°
K
t
+
K
t
°
1
°
C
(
K
t
°
K
t
°
1
) +
1
1 +
r
[
f
(
K
t
)
°
(
K
t
+1
°
K
t
+
C
(
K
t
+1
°
K
t
))]
Donde, debido a que 1+
i
= (1+
r
)
P
t
/P
t
°
1
, hemos usado la tasa de inter´es
real. La condici´on de primer orden que deben cumplir todos los
K
debe ser:
1 +
C
0
(
I
t
°
1
) =
1
1 +
r
[
f
0
(
K
t
) + (1 +
C
0
(
I
t
))]
(4.23)
Ahora, definiremos
q
t
de la siguiente forma:
q
t
= 1 +
C
0
(
I
t
°
1
)
Es decir, corresponde al valor de instalar una unidad de capital
K
t
. Si no
hubiera costos de ajuste, el valor de
q
ser´ıa 1, pues hemos asumido que el precio
de los bienes es igual al precio del bien de capital. Sin embargo, la presencia
de costos de ajuste aumenta el valor del capital, pues una unidad adicional de
capital aumenta marginalmente su costo de instalaci´on.
Ahora podemos reescribir la condici´on de primer orden de la siguiente
forma:
r
=
f
0
(
K
t
)
q
t
+
¢
q
q
t
Donde¢
q
=
q
t
+1
°
q
t
. Esta relaci´on nos dice que, para mantener una
unidad de capital se debe igualar su costo de oportunidad (
r
ya que no hay
depreciaci´on) con el beneficio de tener el capital. El beneficio de tener la unidad
de capital est´a compuesto de su aporte marginal sobre los ingresos m´as la
ganancia de capital, que corresponde al aumento de su valor. Esta es una
condici´on de arbitraje que veremos repetida en muchos contextos a lo largo de
este libro.
De Gregorio - Macroeconomía
