Página 105 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada

105
Teorema 5.1.
1. Sean { , i variables ji cuadradas , con grados
H œ Ð8 Ñ œ "ß #ß $ÞÞÞÞÞ5× 5 8 # #
i i i ; independientes
de libertad cada una,entonces la variable aleatoria tiene
] œ H!
i
i
œ"
5
# distribución ji cuadrada
con grados de libertad.
8 œ 8!
i
i
œ"
5
2. Sean , ) , i variables normales típicas ,
Ö^ œ RÐ! " œ "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞß 5× 5
i independientes
entonces la variable aleatoria tiene con grados de
] œ ^ 5 !
i
i
œ"
5
# distribución ji cuadrada
libertad.
Observaciones.
1) El teorema establece que una suma de variables ji cuadradas independientes también tiene
distribución ji cuadrada con grados de libertad la suma de los grados de libertad de cada una.
2) Además, demuestra que la variable aleatoria que resulta de sumar variables normales
típicas independientes al cuadrado tiene distribución ji cuadrada y como consecuencia se
deduce que tiene distribución una normal típica al cuadrado ji cuadrada con un grado de
libertad.
Distribución t de Student.
Esta distribución se debe al Estadístico inglés William Sealey Gosset, químico de
formación, alumno y colaborador de Karl Pearson, de quien se cuenta que publicó sus
primeros trabajos bajo el seudónimo de , porque temía ser despedido si alguno de sus Student
jefes, en la fábrica de cerveza Guiness donde trabajaba como químico, descubriera que
realizaba investigaciones en estadística. La verdad es otra, pero lo importante es su
contribución a la estadística.
En los inicios del siglo pasado Gosset estableció que el estadígrafo tiene
> œ Xq
Î8
.
ÈS#
distribución con (n 1) grados de libertad, correspondiente a los de S .t  #
Notación: ; Notación percentil alfa : .
> œ X q 
Î8
.
ÈS# œ t Ð8  "Ñ Ð8  "Ñ t!