Página 678 - Macroeconomía: teoría y políticas

23.4. Sustituci´on intertemporal del trabajo 657
(wLt) sea igual al consumo (C t)9. Resolviendo la optimizaci´on, y combinando
las condiciones de optimalidad de Lt y Ct , se llega a una ecuaci´on an´aloga a
(23.2):
1 ° µ
1 ° Lt
= µ
wt
Ct
Una vez que reemplazamos la restricci´on presupuestaria w tLt = C t, esto
nos lleva a:
Lt = µ
Es decir, la oferta de trabajo es constante, al igual que lo que encontramos
en el modelo sencillo de la secci´on anterior. La raz´on es que, gracias a la funci´on
de utilidad logar´ıtmica, el efecto sustituci´on, a trav´es del cual un aumento del
salario lleva a m´as oferta de trabajo v´ıa reducci´on del consumo de ocio, se
cancela con el efecto ingreso, a trav´es del cual la oferta de trabajo se puede
reducir para conseguir el mismo nivel de ingreso. Sin embargo, este problema,
a pesar de que la utilidad sea logar´ıtmica, admite fluctuaciones del empleo.
Eso es lo que veremos a continuaci´on, suponiendo que el hogar ahora existe, y
optimiza por dos per´ıodos, t y t + 1. En este caso, el problema del consumidor
es:
m´ax ∑µ log Ct + (1 ° µ) log(1 ° Lt) +
1
1 + Ω
(µ log C t+1 + (1 ° µ) log(1 ° Lt+1))∏
La restricci´on presupuestaria intertemporal que iguala el valor presente de
los ingresos laborales con el valor presente del consumo, considerando que al
pasar activos del per´ıodo t a t + 1 estos reciben un retorno rt+1:
wt Lt +
wt+1 Lt +1
1 + rt+1
= Ct +
Ct+1
1 + rt+1
Escribiendo el lagrangiano y determinando las condiciones de primer orden
para Lt y Lt+1, y luego junt´andolas por la v´ıa de eliminar el multiplicador de
Lagrange, se llega a:
1 ° Lt
1 ° Lt+1
=
1 + Ω
1 + rt+1
wt+1
w t
(23.22)
Esta es la ecuaci´on clave para mostrar el efecto de la sustituci´on inter-
temporal, pues muestra que para el caso de la utilidad logar´ıtmica el empleo
puede cambiar intertemporalmente. De la ecuaci´on(23.22)se puede concluir
lo siguiente:
9El bien de consumo se usa como numerario, de modo que su precio es 1 y el salario es el salario
real.