Página 331 - Macroeconomía: teoría y políticas

310 Cap´ıtulo 12. Modelos de crecimiento: Extensiones
Y = F (L, H, K ) = AL∏H Ø K1 °∏°Ø (12.1)
Para simplificar, consideraremos que L es constante. El supuesto crucial
para simplificar el modelo es asumir que ambos tipos de capital se acumulan
ahorrando (“se compran”), y la tasa de ahorro es la misma s. Asimismo, y para
facilitar m´as el ´algebra, asumiremos que ambos tipos de capital se deprecian
a la misma tasa, ±. En este sentido decimos que ambos tipos de capital son
perfectos sustitutos, no desde el punto de vista de la funci´on de producci´on,
donde la sustituci´on es imperfecta, sino desde el punto de vista de la acumu-
laci´on. En consecuencia, expresando todo en t´erminos per c´apita, tenemos la
siguiente ecuaci´on de acumulaci´on:
˙
k + ˙h = sf (h, k) ° ± (h + k) (12.2)
Como deber´ıa ser evidente de esta ecuaci´on, ambos tipos de capital son
perfectos sustitutos. As´ı, podr´ıamos trasladar cualquier cantidad de capital
f´ısico a capital humano en un instante. Lo que no podemos es aumentar el
total de este “capital ampliado”, ya que solo lo podemos hacer ahorrando y
destinando parte de la producci´on a capital.
En consecuencia, la combinaci´on ´optima de ambas formas de capital ser´a tal
que la productividad marginal de ambos sea igual. De otra forma convendr´a trans-
formar capital menos productivo en el capital m´as productivo. Este movimien-
to har´a que la productividad marginal del capital menos productivo suba, en
la medida en que se reduce su stock, y la del m´as productivo se reduzca como
producto de que hay m´as de ´el. Esta condici´on de igualdad de las productivi-
dades nos dar´a la raz´on ´optima en que deben estar K y H en todo momento.
Igualando las productividades marginales, tenemos:
Ø
Y
H
= (1 ° ∏ ° Ø )
Y
K
(12.3)
Es decir, el capital humano siempre ser´a la siguiente proporci´on del capital
f´ısico:
H =
Ø
1 ° ∏ ° Ø
K (12.4)
Definiendo ª ¥ Ø/(1 ° ∏ ° Ø ) y escribiendo todo en t´erminos per c´apita (la
funci´on de producci´on tiene retornos constantes a escala) se tiene que:
y = AhØ k1 °∏°Ø
Pero ya vimos en(12.4)que h = ªk con lo cual llegamos finalmente a:
y = Aª Øk 1°∏ (12.5)
De Gregorio - Macroeconomía