Página 68 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada
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Demostración.
Z \ „ 5 œ I Ð \
[
]
„5Ñ ÐI Ð \„5ÑÑ
#
#
œ IÐ \
# #
„ # 5\ 5 Ñ Ð IÐ\Ñ „ 5Ñ
#
#
œ IÐ\ Ñ
# 5 IÐ\Ñ 5 Ñ
#
#
#
„ # 5 IÐ\Ñ 5 Ð ÐIÐ\ÑÑ „
#
#
#
, pues y los dobles productos se anulan
œ IÐ\ Ñ ÐIÐ\ÑÑ
5
#
#
#
#
#
œ ÐIÐ\ Ñ ÐIÐ\ÑÑ Ñ œ ‡Z Ð\Ñ
#
#
#
#
Esta demostración sirve para validar las dos propiedades anteriores que resultan como
casos particulares de ésta.
4° Sean e variables aleatorias
, entonces
\ ]
Z
independientes
[
]
[ ]
[ ].
\ „ ] œ Z \ Z ]
Esta es una propiedad importante en estadística, porque establece que al tener dos
variables aleatorias independientes la varianza de su suma o diferencia es
igual a la
siempre
suma
de sus varianzas, cuya demostración es el ejemplo 4.3. c) de la sección 3.4.
3.4 Nociones sobre distribuciones de variables aleatorias bidimensionales.
En muchas situaciones interesa considerar simultáneamente dos o más características en
un mismo individuo, como por ejemplo, su altura y su peso ; su edad, años de educación y su
ingreso mensual. Para tal efecto es necesario desarrollar algunos conceptos.
Definiciones.
1. El par
recibe el nombre de
o
si y
Ð\ ß ] Ñ
variable aleatoria bidimensional vector aleatorio
solo si e son variables aleatorias
\ ]
unidimensionales.
Notación:
; :
;
es su recorrido.
X
X
R
p
p
œ Ð\ ß ] Ñ
W Ä d
#
p
X
2. El vector aleatorio es discreto si su recorrido es un conjunto finito o infinito numerable.
X
p
3. En vector aleatorio discreto
X
p
, una función p( , ) que le asigne probabilidades a los
B C
3 4
elementos ( , de
, denominada función de probabilidad puntual conjunta ó de cuantía
B C Ñ V
3
4
X
p
conjunta, debe satisfacer las siguientes condiciones:
1º (
) 0 ,
: B ß C a ÐB ß C Ñ
3
4
3
4
− V
\
p
2º
(
)
! !
ÐB ßC Ñ
3
4
3 4
− V
\
p
: B ß C œ "
4. Si
, entonces
F § V
T ÐFÑ œ
\
p
−
! !
ÐB ßC Ñ F
3
4
3 4
: B ß C
(
)
5. El vector aleatorio es continuo si su recorrido es una región de .
X
p
d
#
6. Sea vector aleatorio continuo
X
p
, entonces una función
, denominada función de
f
ÐB ß CÑ
densidad conjunta , que le asigne probabilidades a toda región de
, debe satisfacer las
B
d
#
siguientes condiciones:
1º
0 ,
f
ÐB ß CÑ a ÐB ß CÑ − d
#
2º
, donde
' '
_ _
_ _
f
ÐB ß CÑ .E œ "
.E œ .B‡.C œ .C‡.B
7. Si
F § d
T ÐFÑ œ ÐB ß CÑ .E
#
, entonces
' '
F
f
