Página 64 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada
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b) Sea la función de distribución de
\
si
para otros valores , entonces
f
ÐBÑ œ
B Î$
#
!
œ
#
Ÿ B Ÿ "
I \ œ B‡ .B œ .B œ &Î%
&Î%
[ ]
, o sea, su valor "promedio" es - , valor consistente,
'
'
-2
-2
1
1
B
B
$
$
#
3
porque de acuerdo al ejemplo 2.3 b) esta variable aleatoria toma valores negativos con una
probabilidad de
)Î*Þ
Propiedades del valor esperado.
Las propiedades que se exponen a continuación son equivalentes a las establecidas para la
media poblacional en la unidad de descriptiva.
1º
. El valor esperado de una constante es igual a la constante.
I 5 œ 5
[ ]
La propiedad es trivial, pues corresponde a la misma propiedad del promedio.
2º
. La propiedad establece que la constante que multiplica a la
I -\ œ -‡ I \
[
]
[ ]
variable aleatoria multiplica al valor esperado.
$
º
[
]
[ ]
I -\ „ 5 œ -‡I \ „ 5
. Esta corresponde a la propiedad de linealidad del
valor esperado e incluye a las dos primeras como casos especiales.
Demostración.
Por facilidad en la demostración se considerará a como variable aleatoria continua, pero
\
como la integral y la sumatoria tienen las mismas propiedades a utilizar en la demostración,
también es válida para las variables aleatorias discretas.
I \ „ 5 œ
[
]
'
_
_
Ð B „ 5ч0 ÐBÑ .B
, por la definición 3 de valor esperado
œ Ð B‡0 ÐBÑ „ 5‡0 ÐBÑ Ñ .B
'
_
_
