Página 57 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada
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Ejemplos 2.2
a Sea variable aleatoria discreta con
)
\
p
p
ÐB Ñ œ
"Î# B œ #
"Î$ B œ $
"Î' B œ '
3
3
3
3
Ú
Û Ü
si
si
, entonces
una
si
correcta
es
función de probabilidad puntual
en
V
X
= { 2 , 3 , 6 } porque sus imágenes son no negativas y su suma es igual a 1.
b)
( )
para la variable aleatoria X del
La distribución p
B œ ß a B − Ö "ß #ß $ß %ß &ß ' ×
3
3
"
"
'
experimento
constituye una correcta función de probabilidad puntual. En
&
$
del ejemplo 2.1,
este caso se establece que el espacio
es equiprobable lo que ocurre si el dado es
V
X
"
simétrico. Si el dado estuviese cargado entonces la función indicaría diferentes valores para
p
cada
En el mismo experimento la variable aleatoria
tiene por función de cuantía
B Þ
\
3
#
p
ÐB Ñ œ
&Î' B œ !
"Î' B œ "
3
3
3
œ
si
si
.
c) En
&
4
la variable aleatoria tiene función de cuantía
\
#
p
ÐB Ñ œ
#&Î$' B œ !
"!Î$' B œ "
"Î$'
B œ #
3
3
3
3
Ú
Û Ü
si
si
si
Distribuciones de variables aleatorias continuas (v.a.c).
Una variable aleatoria es continua si el conjunto es un conjunto infinito no numerable.
V
X
En este tipo de variable aleatoria el conjunto
corresponde a un intervalo o a una unión de
V
X
intervalos de números reales. Así si consiste en medir la cantidad de agua lluvia caida en
&
Quinta Normal durante un año dado, habría que establecer, por ejemplo,
=
V
X
e
f
h 0 h
, donde h es la altura en mm., o más simplemente, como se adoptará en lo
Î Ÿ Ÿ "!!!
sucesivo,
será el conjunto de los reales, . Tenga en cuenta que el espacio muestral no
V
d
X
tiene por qué estar ajustado a lo que realmente suceda, pues lo importante es que no deje
fuera valores posibles, y
d
V
cumple con ser el conjunto más amplio posible.
X
Definición
Þ
Sea variable aleatoria continua, entonces una función , denominada función de
\
f
densidad de probabilidad (f.d.p), que asigne probabilidades en , debe satisfacer las
d
siguientes condiciones:
1º)
0 ,
f
ÐBÑ a B − d
2º)
'
_
_
f
ÐBÑ .B œ "
3°) a
T Ð Ÿ \ Ÿ Ñ œ ÐBÑ.B
b
f
'
a
b
Observaciones.
1) La definición anterior establece que una función que asigne probabilidades a una variable
aleatoria continua debe ser
.
no negativa
2) Las probabilidades se asignan en términos de área bajo la curva cuya función es , por esta
f
razón la segunda condición establece que el área total es uno, porque corresponde a la
probabilidad del espacio muestral.
3) La tercera condición dice que la probabilidad del
definido por el intervalo [
] la
suceso
a , b
determina el área limitada por la recta
, la curva
, la recta
y el eje
.
B œ
ÐBÑ
B œ
S\
a
f
b
