Página 51 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada
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Teorema de la probabilidad total.
Sea
y { / i = 1, 2, 3, ....., k} una partición de , la cual induce la partición
E § W F
W
i
{
/ i = 1, 2, 3, ....., k} en el suceso , tal que:
E F
E
i
1º (
) (
)
, si i
j.
E F E F œ Á
i
j
9
2º (
) (
) (
)
)
, entonces si son conocidas las
)
E F E F E F ÞÞÞÞÞ ÐE F œ E
T ÐEÎF
1
2
3
k
i
y
) para cada i = 1, 2, 3, k , se puede establecer que
B )
),
T ÐF
ÞÞÞß
T ÐEÑ œ T ÐEÎ ‡T ÐF
i
i
i
i = 1
k
!
T ÐF !Þ
i
)
Demostración.
(
) (
) (
)
)
) , pues se trata de
T ÐEÑ œ T Ð E F E F E F ÞÞÞÞÞ ÐE F Ñ œ T ÐE F
1
2
3
k
i
i=1
k
!
una unión de sucesos mutuamente excluyentes por la condición 1º de partición de . Pero
E
para elemento
de la partición de se cumple que
)
)
), de
E F
E
T ÐE F œ T ÐEÎF ‡T ÐF
i
i
i
i
acuerdo al principio multiplicativo general de probabilidades. Por lo tanto, sustituyendo en la
sumatoria anterior se cumple que
B )
).
T ÐEÑ œ T ÐEÎ ‡T ÐF
!
i = 1
k
i
i
Observaciones.
1) Siguiendo con la analogía del rompecabezas, si el suceso A a que hace referencia el
teorema lo asimilamos a la figura central de éste, se tendrá que algunas de las piezas
contienen parte de la figura central, no importa que la mayoría de las piezas no contribuyan a
su formación, lo que equivale a decir que algunas A B son vacías, lo fundamental es que al
i
armar el rompecabezas completo la figura central quedará completa.
2) Otra situación se da al considerar un huerto de manzanos donde el 60% de la producción es
de la variedad Granny Smith, el 30% de la variedad Fuji y el 10% de la variedad Royal,
entonces las tres variedades de manzanas establecen una partición del suceso A = {manzanas
calibre 100} correspondientes a {manzanas Granny calibre 100} , {manzanas Fuji calibre
100} y {manzanas Royal calibre 100}.
Ejemplos 6.1
a) El 60% de la producción de un huerto de manzanos es de la variedad Granny Smith, el
30% de la variedad Fuji y el 10% de la variedad Royal, y se sabe que son calibre 100 el 15%
de las manzanas Granny, el 35% de las Fuji y el 40% de las Royal. Entonces el porcentaje de
manzanas calibre 100 de la producción total del huerto se calcula usando el teorema de la
probabilidad total, donde A = {manzanas calibre 100}, como
