Página 405 - Macroeconomía: teoría y políticas
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Cap´ıtulo 14. Crecimiento econ´omico con ahorro ´optimo*
y
u
=
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
(14.68)
En este ´ultimo caso, para encontrar
du
tenemos que:
du
=
d
[
°
(¯
r
t
°
n
)
t
]
dt
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
(14.69)
Donde la primera derivada del lado derecho corresponde a:
d
[
°
(¯
r
t
°
n
)
t
]
dt
=
°
(¯
r
t
°
n
)
°
t
d
¯
r
t
dt
(14.70)
Recordando que definimos ¯
r
t
como la tasa de inter´es instant´anea promedio
entre 0 y
t
, es decir:
¯
r
t
t
=
Z
t
0
r
s
ds
(14.71)
Diferenciando a ambos lados, es f´acil ver que:
t
d
¯
r
t
dt
+ ¯
r
t
=
r
t
(14.72)
Con lo cual, reemplazando
y
en
tendremos que:
du
=
°
(
r
t
°
n
)
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
(14.73)
Ahora podemos volver a la restricci´on presupuestaria
, escribiendo
el lado izquierdo, despu´es de hacer los reemplazos de la integraci´on por partes,
de la siguiente forma:
Z
T
0
˙
a
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
=
a
T
e
°
(¯
r
t
°
n
)
T
°
a
0
+
Z
T
0
a
t
(
r
t
°
n
)
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
(14.74)
Usando el lado derecho de esta expresi´on en
y simplificando, llega-
mos a:
a
T
e
°
(¯
r
t
°
n
)
T
=
a
0
+
Z
T
0
w
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
°
Z
T
0
c
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
(14.75)
Esto nos provee un resultado muy intuitivo: el valor presente de los activos
en
T
es todo lo que se dej´o despu´es de consumir entre 0 y
T
, es decir, los
activos iniciales, m´as el valor presente de los ingresos del trabajo, menos el
valor presente del consumo.
Finalmente tomando el l´ımite de
T
cuando va a infinito y considerando la
condici´on de transversalidad, tendremos que la integraci´on de la restricci´on
presupuestaria nos lleva a:
a
0
+
Z
1
0
w
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
=
Z
1
0
c
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
(14.76)
De Gregorio - Macroeconomía
