Página 404 - Macroeconomía: teoría y políticas
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14.B. Integraci´on de la restricci´on presupuestaria de los individuos
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Entonces, las condiciones necesarias pueden expresarse en t´erminos de va-
lores corrientes. Sustituyendo los valores corrientes en las condiciones ´optimas
y
llegamos a:
@
H
0
@u
= 0
(14.62)
@
H
0
@x
=
°
˙
∏
0
+
Ω∏
0
(14.63)
Y la CTV para el caso de
x
T
= 0:
∏
0
(
T
)
e
°
ΩT
x
(
T
) = 0
Cuando hay descuento, es conveniente escribir el valor corriente del hamil-
toniano como en la ecuaci´on
, porque
F
(
·
) est´a valorada en el tiempo
t
. Sin embargo, basta con recordar
y
, escribiendo la ´ultima
condici´on como
@
H
/@x
=
d
(
∏
0
(
t
)
e
Ωt
)
/dt
, y
e
°
Ωt
se cancelar´a en ambos lados
de la ecuaci´on.
14.B. Integraci´on de la restricci´on presupuestaria de los
individuos
La restricci´on presupuestaria en cada instante es:
˙
a
t
=
w
t
+ (
r
t
°
n
)
a
t
°
c
t
(14.64)
Multiplicando ambos lados por
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
e integrando entre 0 y
T
, tendremos
que la restricci´on es:
Z
T
0
˙
a
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
=
Z
T
0
w
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
+
Z
T
0
(
r
t
°
n
)
a
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
°
Z
T
0
c
t
e
°
(¯
r
t
°
n
)
t
dt
(14.65)
Para simplificar esta expresi´on, el t´ermino del lado izquierdo lo integrare-
mos por partes, para pasar de ˙
a
a
a
.
Recordando la f´ormula de integraci´on por partes:
Z
udv
=
uv
°
Z
vdu
(14.66)
En nuestro caso, haremos la siguiente elecci´on de
u
y
v
:
dv
= ˙
adt
=
)
v
=
a
(14.67)
