Página 112 - Macroeconomía: teoría y políticas
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3.7. Consumo, incertidumbre y precios de activos*
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Dado que el valor esperado en una multiplicaci´on de variables aleatorias es
igual al producto de sus esperanzas m´as la covarianza, la expresi´on anterior es
igual
E
t
M
+ E
t
r
i
M
= E
t
M
+ E
t
r
i
E
t
M
+ Cov(
r
i
, M
) = 1
Esta condici´on se debe cumplir para todos los activos, entre otros el libre
de riesgo:
(1 +
r
)E
t
M
= E
t
M
+
r
E
t
M
= 1
Combinando las dos ´ultimas expresiones (igualando los dos t´erminos del
medio), tendremos que el diferencial de tasas, conocido tambi´en como
exceso
de retorno
, estar´a dado por:
E
t
r
i
°
r
=
°
Cov(
r
i
, M
)
E
t
M
=
°
Cov(
r
i
, u
0
(
C
t
+1
))
E
t
u
0
(
C
t
+1
)
(3.29)
Donde el ´ultimo t´ermino se obtiene de simplificar el numerador y deno-
minador por 1 +
Ω
y
u
0
(
C
t
) que se pueden sacar de los valores esperados, ya
que son variables ciertas. Esta expresi´on nos permite derivar de la teor´ıa de
consumo el premio de un activo riesgoso por sobre el activo libre de riesgo.
Si la covarianza del retorno y la utilidad marginal del consumo son negativas,
entonces el premio (o prima) del activo ser´a positivo. Dado que la utilidad
marginal es decreciente en el consumo, podemos concluir que
cuando el re-
torno de un activo covar´ıa positivamente con el consumo, requerir´a pagar un
premio positivo
. La raz´on de esto es que, si un activo paga m´as cuando el
consumo es alto, no provee seguro contra ca´ıdas del ingreso, por lo tanto los
consumidores estar´an dispuestos a mantenerlo en su portafolio solo si provee
un buen retorno. Es decir, este activo requerir´a una prima por riesgo por sobre
el retorno de un activo libre de riesgo.
Por otro lado, un activo que da un retorno alto cuando el consumo es bajo
—es decir, la covarianza entre la utilidad marginal y el retorno es positiva—
tendr´a un retorno menor al libre de riesgo, porque adem´as de servir como
veh´ıculo de ahorro, dicho activo provee tambi´en un seguro para los malos
tiempos.
De la ecuaci´on
, podemos encontrar cu´anto deber´ıa ser el precio de un
activo cualquiera respecto de la tasa libre de riesgo. Para operacionalizar m´as
esta relaci´on, la teor´ıa de finanzas ha propuesto el CAPM, que aqu´ı lo explica-
remos a partir de la teor´ıa del consumo
. Suponga que existe un activo cuyo
retorno,
r
m
, est´a perfectamente correlacionado negativamente con la utilidad
32
Esto es consecuencia de que la covarianza entre
X
e
Y
se define como: Cov(
X, Y
) = E
XY
°
E
X
E
Y
.
33
Para m´as detalles, ver Blanchard y Fischer (1989), cap. 10.1.
