Página 40 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada
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2.4 Probabilidad en espacio muestral finito equiprobable.
Un espacio muestral
es finito si su cardinalidad es un número natural y es
W
n
equiprobable si todos los resultados de un experimento tienen la misma posibilidad de ocurrir.
&
La condición de equiprobabilidad debe justificarse cuidadosamente.
Ejemplos 4.1
Considérense los siguientes experimentos y sus correspondientes espacios muestrales.
a)
lanzamiento de un dado simétrico y
, entonces es un espacio
&
"
À
W œ Ö"ß #ß $ß %ß &ß '×
W
muestral finito equiprobable.
b)
lanzamiento de una moneda equilibrada y
, entonces es un espacio
&
2
À
W œ Ö ß =×
W
muestral finito equiprobable.
c)
dos lanzamientos de una moneda equilibrada y
(
,
&
3
À
W œ Ö ß Ñß Ð ß =Ñß Ð=ß Ñà Ð=ß =Ñ×
entonces es un espacio muestral finito equiprobable.
W
d)
dos lanzamientos de una moneda equilibrada y
, donde 0, 1 o 2 indican
&
4
À
W œ Ö!ß "ß #×
el número de caras obtenidas en ambos lanzamientos. Entonces
es un espacio
W
no
equiprobable, porque
es equivalente a
es equivalente a
y 2
Ö!×
ÖÐ=ß =Ñ× à Ö"×
ÖÐ ß =Ñß Ð=ß Ñ× Ö ×
es equivalente a
.
ÖÐ ß Ñ×
e)
extracción de 3 fichas al azar, sin sustitución, de una bolsa que contiene 6 fichas
&
&
À
rojas, 4 blancas y 5 azules. Entonces, si es el conjunto de todas las combinaciones posibles
W
de 15 fichas tomadas de a 3, éste es un espacio muestral finito equiprobable de
ˆ ‰
"&
$
œ %&&
resultados.
f) Si en el mismo experimento anterior representa el número de fichas rojas obtenidas,
W
entonces
es un espacio muestral equiprobable, pues el número de combinaciones que no
W
no
contienen fichas rojas es distinto al número que contiene una roja y distinto al que contiene dos
rojas y distinto al que contiene las tres rojas, luego sus posibilidades son distintas.
Asignación de probabilidades en espacios muestrales finitos equiprobables.
Si es un espacio muestral finito equiprobable, entonces hay resultados con igual
W
n
probabilidad , para los cuales se debe satisfacer que:
, de donde
p
p n p=
! !
i=1
i=1
n
n
i
T ÐÖ= ×Ñ œ œ ‡ "
resulta que
La consecuencia es que en todo espacio muestral equiprobable de
p n.
œ "Î
cardinalidad , cada suceso elemental tiene probabilidad
#
y por lo tanto
n
n
T ÐÖ= ×Ñ œ "Î W œ "Î
i
cualquier suceso asociado a este espacio muestral tiene una probabilidad asociada
directamente proporcional a su cardinalidad. A partir de esta condición se establece la
definición clásica de probabilidad de sucesos en los siguiente términos
T ÐEÑ œ EÎ W œ
# #
.
número de casos favorables
número de casos posibles
