El legado de Humberto Maturana y Francisco Varela: Desarrollos, desafíos y aplicaciones de la teoría autopoiética en el siglo XXI

81 Capítulo 3 · Autorreferencia más allá de las paradojas. Diego Becerra Encontramos entonces que , = ( , ) : un punto fijo en , que, por definición, es una función sin punto fijo. Queda así demostrado que no podemos sobreyectar ℕ en ℘ ℕ . ¡El esquema de la paradoja de Russell (Figura 3, derecha) es idéntico! Basta con reemplazar ℕ por un universo de conjuntos ( . ) y notar que la fun- ción característica de su producto cartesiano, . × . es la si- guiente: (D) , = 1 ∈ 0 ∉ Al evaluarla autorreferencialmente, , = 1 si un conjunto es miembro de sí mismo, y 0 si no lo es. Llegamos a la misma conclusión: tiene un punto fijo cuando evaluamos el argumento de respecto a sí mismo, lo cual contradice la premisa. Finalmente, tras esta explicación podemos formular el teorema de punto fijo de Lawvere en un lenguaje más abstracto: el de la teoría de categorías, rama de las matemáticas originada en la segunda mitad del siglo XX. Por razones de espacio y atendiendo al objetivo del ensayo, no nos detendremos en el detalle del teorema que enunciaremos a continuación: Teorema 1. Sea una categoría cartesiana cerrada. Decimos que un objeto en tiene la propiedad de punto fijo si y solo si cada endo- morfismo de tiene un punto fijo. Si existe un objeto en , y una función sobreyectiva → , entonces tiene la propiedad de punto fijo. Soto-Andrade y Varela (1984) realizan dos extensiones de dicho teorema: (i) postulan que cualquier estructura con propiedad de punto fijo es una “sombra” (retracción) de un dominio reflexivo de orden superior; 12 no obs- tante, Björner (1985) ofreció rápidamente un contraejemplo; y (ii) plantean 12 Un dominio reflexivo es una estructura matemática donde no hay distinción entre ope- radores y operandos; podemos entenderlo como completamente autorreferencial.