El legado de Humberto Maturana y Francisco Varela: Desarrollos, desafíos y aplicaciones de la teoría autopoiética en el siglo XXI

El legado de Humberto Maturana y Francisco Varela Desarrollos, desafíos y aplicaciones de la teoría autopoiética en el siglo XXI 76 Para entenderlo, primero esbozaremos una versión coloquial de dicha de- mostración, conocida como el argumento de diagonalización de Cantor. A modo de motivación, observemos que los números naturales son infinitos (es decir, no es posible pensar en un número concreto que sea el más grande de la sucesión) y que los números reales también lo son. Pero si de cada conjunto tomamos cualquier intervalo acotado por ambos lados — por ejemplo, todos los números entre 5 y 7 (inclusive)— notamos que dicho intervalo extraído de los naturales ya no es infinito (tiene tres elementos), pero cuando es extraído de los reales sigue siendo infinito (entre cuales- quiera dos números del intervalo hay otro número real). Esto, sin embargo, no basta para demostrar que los naturales y los reales tienen distinta canti- dad de elementos (en adelante, diremos cardinalidad ), ya que, si considera- mos ese mismo intervalo, pero ahora de los números racionales, obtenemos infinitos números sin que esto signifique que haya tantos números raciona- les como reales en ese o cualquier intervalo. De hecho, todo toma un giro contraintuitivo cuando nos enteramos de que previamente el mismísimo Cantor demostró que hay tantos números racionales como naturales. 5 Cabe preguntarse: ¿cómo podemos comparar cardinalidades de conjuntos infinitos? La respuesta es similar a cuando que- remos saber cuál de dos bolsas tiene más dulces sin contarlos: abrimos am- bas bolsas y extraemos un dulce de cada una en simultáneo, repetidas veces. 5 En otras palabras, el tamaño del conjunto de los racionales, ℚ , es infinito numerable tal como el de ℕ , mientras que el tamaño de ℝ es un infinito no numerable. ¿Cómo es esto posible? En 1874 Cantor demostró la equinumerosidad de ℕ y ℚ (más bien, de ℕ y los números algebraicos, que incluyen a ℚ ) ordenando los números racionales como fracciones de la forma a/b en una cuadrícula donde el denominador crece hacia la derecha (todas las columnas tienen el mismo denominador) y el numerador crece hacia abajo (todas las filas tienen el mismo numerador). La secuencia resultante de tomar el zigzag de dicha cuadrí- cula, empezando desde arriba a la izquierda, es: , , , , , , , … Luego, hay una función = + ( )( ) que permite enumerar cada fracción, demostrando así su equi- numerosidad con los naturales. El dibujo del método zigzag y una propuesta más sencilla que la original de Cantor pueden consultarse en Almada (2010). Un adelanto: en vez de pensar la cuadrícula resultante como una sobreyección de ℕ sobre las fracciones, podemos pensarla como una función de emparejamiento : ℕ → ℕ × ℕ donde a cada natural se le asigna un par (a, b) de naturales, demostrando suequinumerosidad.