III Simposio de Postgrado 2025: Ingeniería, ciencia e innovación

148 Módulo Matemáticas Aplic. y Modelos Matemáticos Universalidad de Operadores Neuronales asociados a Problemas Inversos *E-mail: alonso.rojas@dim.uchile.cl ¹ Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile Alonso Rojas R. ¹* Claudio Muñoz ¹ (Profesor Guía) 09 Resumen En matemáticas, los problemas inversos pueden aparecer a partir de sistemas físicos cuando se desea descubrir qué es lo que ocurre en su interior a partir de observaciones en su superficie o borde. Tienen aplicaciones en medicina, geofí- sica o ingeniería. En particular, se estudia un problema clásico llamado el problema de Calderón , donde se busca determinar la conductividad eléctrica de un medio a partir de mediciones de voltaje y corriente en el exterior. Está gobernado por el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales. Matemáticas Aplicadas y Modelamiento Matemático Universalidad de Operadores Neuronales asociados a Problemas Inversos Alonso Rojas R. 1* , Claudio Muñoz 2 (Profesor Guía) 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 Departamento de Inge iería Matemática, Universidad de Chile. *Email: alonso.rojas@dim.uchile.cl Resumen En matemáticas, los problemas inversos pueden aparecer a partir de sistemas físicos cuando se desea descubrir qué es lo que ocurre en su interior a partir de observaciones en su superficie o borde. Tienen aplicaciones en medicina, geofísica o ingeniería. En particular, se estudia un problema clásico llamado el problema de Calderón , donde se busca determinar la conductividad eléctrica de un medio a partir de mediciones de voltaje y corriente en el exterior. Está gobernado por el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales. ! div " ( )∇ ( )) = 0, en Ω = , en Ω con : Ω1 → ℝ , : → ℝ y : Ω1 → ℝ . El objetivo de este trabajo es aproximar mediante técnicas de deep learning el operador asociado al problema inverso, es decir, el que para observaciones a partir de distintas condiciones de borde , entrega la conductividad en el interior. Algunas de estas técnicas corresponden a extensiones de las redes neuronales artificiales a operadores infinitodimensionales, como lo son las deep operator networks (DeepONet) o los Fourier neural operators (FNO). Este trabajo se centra en los Neural Inverse Operators (NIO), arquitectura propuesta por Molinaro et al. (2023) en [1] que combina DeepONets y FNOs para aproximar operadores asociados a distintos problemas inversos. En particular, se demuestran resultados sobre la universalidad de las NIOs, es decir, sobre su capacidad para aproximar operadores de este tipo, además de encontrar cotas para el error de aproximación describiendo qué tan complejas deben ser las redes neuronales para lograr un cierto nivel de precisión, lo que es muy útil en la práctica, a la hora de una implementación numérica. Para ello se utilizan resultados previos sobre DeepONets y FNOs, como los obtenidos en [2] y [3], respectivamente. Así, se muestra que este tipo de operadores neuronales resultan ser herramientas potentes para el modelamiento matemático y el estudio de problemas inversos y en particular, para el problema de Calderón. Referencias [1] Molinaro, R., Yang, Y., Engquist, B., y Mishra, S., “ Neural inverse operators for solving pde inverse problems ” (2023), https://arxiv.org/abs/2301.11167. [2] Lanthaler, S., Mishra, S., y Karniadakis, G. E., “ Error estimates for deeponets: A deep learning framework in infinite dimensions ” (2022), https://arxiv.org/abs/21202.09618. [3] Kovachki, N., Lanthaler, S., y Mishra, S., “ On universal approximation and error bounds for fourier neural operators ” (2021), https://arxiv.org/abs/2107.07562. con Matemáticas Aplicadas y Modelamiento Matemático Universalidad de Operadores Neuronales asociados a Problemas Inversos Alonso Rojas R. 1* , Claudio Muñoz 2 (Profesor Guía) 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. *Email: alonso.roja @dim.uchile.cl Resumen En matemáticas, los problemas inversos pueden aparecer a partir de sistemas físicos cuando se desea descubrir qué es lo que ocurre en su interior a partir de observaciones en su superficie o borde. Tienen aplicaciones en medicina, geofísica o ingeniería. En particular, s estudia un problema clásico llamado el problema de Calderón , donde se busca determinar la conductividad eléctrica de un medio a partir de mediciones de voltaje y corriente en el exterior. Está gobernado por el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales. ! div " ( )∇ ( )) = 0, en Ω = , en Ω con : Ω1 → ℝ , : → ℝ y : Ω1 → ℝ . El objetivo de este trabajo es aproximar mediante técnicas de deep learning el operador asociado al problema inverso, es decir, el que para observaciones a partir de distintas condiciones de borde , entrega la conductividad en el interior. Algunas de estas técnicas corresponden a extensiones de las redes neuronales artificiales a operadores infinitodimensionales, como lo son las deep operator networks (DeepONet) o los Fourier neural operators (FNO). Este trabajo se centra en los Neural Inverse Operators (NIO), arquitectura propuesta por Molinaro et al. (2023) en [1] que combina DeepONets y FNOs para aproximar operadores asociados a distintos problemas inversos. En particular, se demuestran resultados sobre la universalidad de las NIOs, es decir, sobre su capacidad para aproximar operadores de este tipo, además de encontrar cotas para el error de aproximación describiendo qué tan complejas deben ser las redes neuronales para lograr un cierto nivel de precisión, lo que es muy útil en la práctica, a la hora de una implementación numérica. Para ello se utilizan resultados previos sobre DeepONets y FNOs, como los obtenidos en [2] y [3], respectivamente. Así, se muestra que este tipo de operadores neuronales resultan ser herramientas potentes para el modelamiento matemático y el estudio de problemas inversos y en particular, para el problema de Calderón. Referencias [1] Molinaro, R., Yang, Y., Engquist, B., y Mishra, S., “ Neural inverse operators for solving pde inverse problems ” (2023), https://arxiv.org/abs/2301.11167. [2] Lanthaler, S., Mishra, S., y Karniadakis, G. E., “ Error estimates for deeponets: A deep learning framework in infinite dimensions ” (2022), https://arxiv.org/abs/21202.09618. [3] Kovachki, N., Lanthaler, S., y Mishra, S., “ On universal approximation and error bounds for fourier neural operators ” (2021), https://arxiv.org/abs/2107.07562. El objetivo de este trab jo es aproximar mediant téc icas de deep learning el op rador asociado al problema inverso, de ir, el que para observacione a partir de distintas condiciones de borde Matemáticas Aplicadas y Modelamiento Matemático Universalidad de Operadores Neuronales asociados a Problemas Inversos Alonso Rojas R. 1* , Claudio Muñoz 2 (Profesor Guía) 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 Departamento de Ingeniería Matemátic , Universi ad de Chile. *Email: alons .rojas@dim.uchile.cl Resumen En matemáticas, los problemas inversos pueden aparecer a partir de sistemas físicos cuando se desea descubrir qué es lo que ocurre en su interior a partir e observaciones en su superficie o b rde. Tienen aplicaciones en medicina, geofísica o ingeniería. En particular, se estudia un problema clásico llamad el problem de Calderón , donde se busca determinar la conductividad eléctrica de un medio a partir de mediciones de voltaje y corriente en el exterior. Está gobernado por el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales. ! div " ( )∇ ( )) = 0, en Ω = , en Ω con : Ω1 → ℝ , : → ℝ y : Ω1 → ℝ . El objetivo de est e trabajo es aproximar mediante técnicas de deep learning el operador asociado al problema inverso , es decir, el que para observaciones a partir de distintas condiciones de bord , entrega la conductividad en el interior. Algunas de estas técnicas corresponden a extensiones de las redes neuronales artificiales a operadores infinitodimensionales, como lo son las deep operator networks (DeepONet) o los Fourier neural operators (FNO). Este trabajo se centra en los Neural Inverse Operators (NIO), a quitectur propuesta por Molinaro et al. (2023) en [1] que combina DeepONets y FNOs para aproximar operadores asociados a distintos problemas inversos. En particular, se demuestran result dos sobre la universalidad de las NIOs, e decir, sobre su capacidad para aproximar operadores de este ti o, además de encontrar cotas pa a el error de aproxim ación describiendo qué tan complejas deben ser las redes neuronale para lograr un cierto nivel de pr ecisión, lo que es muy ú til en la práctica, a la hora de una implementación numérica. Para ello se utilizan resultados previos sobre DeepONets y FNOs, co o los obtenidos en [2] y [3], respectivamente. Así, se muestra que este tipo de operadores neuronales resultan ser herramientas potentes para el modelamiento matemático y el estudio de problemas inversos y en particular, para el problema de Calderón. Referencias [1] Molinaro, R., Yang, Y., Engquist, B., y Mishra, S., “ Neural inverse operators for solving pde inverse problems ” (2023), https://arxiv.org/abs/2301.11167. [2] Lanthaler, S., Mishra, S., y Karniada kis, G. E., “ Error estimates for deeponets: A deep learning framework in infinite dimensions ” (2022), https://arxiv.org/abs/21202.09618. [3] Kovachki, N., Lanthaler, S., y Mishra, S., “ On universal approximation and error bounds for fourier neural operators ” (2021), https://arxiv.org/abs/2107.07562. entrega la conductividad a en el inte- rior. Algunas de estas técnicas corresponden a extensiones de las redes neuro- nales artificiales a operadores infinitodimensionales, como lo son las deep ope- rator networks (DeepONet) o los Fourier neural operators (FNO). Este tra aj se entra en l s Neural Inverse Operators (NIO), a quitectu pro- puesta por Molinaro et al. (2023) en [1] que combina DeepONets y FNOs para aproximar operadores asociados a distintos problemas inversos. En particular, se d muestran resultados sobre la univers lidad de l s NIOs, e decir, sobre su ca acidad para aproximar operadores de este tipo, además de encontrar co- tas para el error de aproximación describiendo qué tan complejas deben ser las redes neuronales para lograr un cierto nivel de precisión, lo que es muy útil en la práctica, a la hora de una implementación numérica. Para ello se utilizan resultados previos sobre DeepONets y FNOs, como los obtenidos en [2] y [3] , res- pectivame te. Así, se muestra que e te t p de operadores neuronales resultan ser herramienta pot ntes para el modelamiento matemático y el estudio de problemas inversos y en particular, para el problema de Calderón. __Referencias [1] Molinaro, R., Yang, Y., Engquist, B., y Mishra, S., “Neural inverse operators for solving pde inverse problems” (2023), https://arxiv.org/ abs/2301.11167. [2] Lanthaler, S., Mishra, S., y Karniadakis, G. E., “Error estimates for de p nets: A deep learning framework in infinite dimensions” (2022), https://arxiv.org/ abs/21202.09618 [3] Kovachki, N., L nthal r, S., y Mishra, S., “On universal approximation and error bounds for fourier neural operators” (2021), https://arxiv.org/ abs/2107.0756