III Simposio de Postgrado 2025: Ingeniería, ciencia e innovación

147 Matias Neto Alfaro ¹* Salome Martínez ¹ Pablo A. Marquet ² Cooperación en poblaciones estructuradas por un rasgo continuo: Dinámicas de selección y adaptación evolutiva ¹ Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile ² Facultad de Ciencias Biológicas, Pontifica Universidad Católica de Chile *E-mail: mneto@dim.uchile.cl 09 Resumen La Teoría de la Evolución sistematizada por Charles Darwin nos indica que el contexto de evolución de los seres vivos está en la lucha por la existencia, lucha en la que solo los más adecuados sobreviven. En este sentido cabe preguntarnos si en este contexto hay lugar para la cooperación. Sobre esto, notamos que el rol que la cooperación juega en los estudios evolutivos ha sido desestimado, mien- tras que hay mucha evidencia en la naturaleza de la existencia e importancia de las interacciones cooperativas [1] , por lo que estudiar la cooperación en modelos de selección resulta de interés para la Ecología Matemática. En esta tesis nos enfocaremos en estudiar un modelo de selección logístico in- tegro-diferencial que describe la evolución de una población estructurada por un rasgo continuo cuantitativo. Un ejemplo sería una población de individuos estructurada según la cantidad de carbono que cada individuo consume. El mo- delo tiene la siguiente dinámica Matemáticas Aplicadas Cooperación en poblaciones estructuradas por un rasgo continuo: Dinámicas de selección y adaptación evolutiva. Matias Neto Alfaro 1* , Salome Martinez 1 , Pablo A. Marquet 2 1 Departamento de Ingenieria Matematica, Universidad de Chile. 2 Facultad de Ciencias Biológicas, Pontifica Universidad Católica de Chile. *Email: mneto@dim.uchile.cl Resumen La Teoría de la Evolución sistematizada por Charles Darwin nos indica que el contexto de evolución de los seres vivos está en la lucha por la existencia, lucha en la que solo los más adecuados sobreviven. En este sentido cabe preguntarnos si en este contexto hay lugar para la cooperación. Sobre esto, notamos que el rol que la cooperación juega en los estudios evolutivos ha sido desestimado, mientras que hay mucha evidencia en la naturaleza de la existencia e importancia de las interacciones cooperativas [1], por lo que estudiar la cooperación en modelos de selección resulta de interés para la Ecología Matemática. En esta tesis nos enfocaremos en estudiar un modelo de selección logístico integro-diferencial que describe la evolución de una población estructurada por un rasgo continuo cuantitativo. Un ejemplo sería una población de individuos estr t rada según la cantidad de carbono que cada individuo consume. El mod lo tiene la siguiente dinámica ( , ) = [ ( , )] ( , ) Donde ( , ) representa la densidad de individuos de rasgo en tiempo . Mientras que [ ] es un operador de selección logístico, que define el fitness de cada individuo con rasgo . De acuerdo a la dinámica adaptativa estudiar asintóticamente este tipo de modelos es equivalente a encontrar las Estrategias Evolutivamente Estables (ESS’s, en inglés), es decir, estrategias que son equilibrios de Nash del sistema y que mantienen una propiedad de estabilidad ante invasiones de mutantes. EES’s han sido estudiados en el contexto de rasgos continuos, pero solo enfocándose en el caso competitivo [2], particularmente bajo el supuesto de competencia mínima, probando existencia, estabilidad y convergencia de ESS. El objetivo de esta investigación es extender estos resultados para casos donde se permita cooperación, es decir, relajando el supuesto de competencia mínima. Se prueba la existencia de soluciones acotadas y propiedades del fitness en este contexto para el caso cooperación. Mientras que solo se demuestra la convergencia a ESS en el caso de cooperación recíproca. Numéricamente se observa que los rasgos seleccionados en el largo plazo son los más cooperativos. Referencias [1] J. L. Sachs, U.G. Muller, T.P. Wilcox y J.J. Bull, The evolution of cooperation , The Quarterly Review of Biology 79 , 2004, 135-160 [2] L. Desvilletes, P. E. Jabin, S. Mischler and G. Raoul, On selection dynamics for continuous structured populations, Communications on Mathematical Sciences, Vol. 6(3) . International Press of Boston, (2008), 729-747. Donde Matemáticas Aplicadas Cooperación en poblaciones estructuradas por un rasgo continuo: Dinámicas de selección y adaptación evolutiva. Matias Neto Alfaro 1* , Salome Martinez 1 , P blo A. Marquet 2 1 Departamento de Ingenieria Matematica, Universidad de Chile. 2 Facultad de Ciencias Biológicas, Pontifica Universidad Católica de Chile. *Email: mneto@dim.uchile.cl R sum n La Teoría de l Evolución sistematizada p r Charles Darwin nos indica que el cont xto de evolución de los seres vivos está en la lucha por la existencia, lucha en la que olo los má adecuados sobr viven. En este sentido cabe preguntarnos si en este contexto hay lugar para la cooperación. Sobre esto, notam s el rol que la cooper ción juega en los est di s evolutivos ha sido desestimado, mientras que hay mu ha evidencia en la naturaleza de la existencia e importa cia de las interacciones cooperativas [1], por lo que estudiar la cooperación e modelos de selección resulta de i terés para la Ecol gía Matemáti a. En e ta tesis nos enfocaremos en estu iar un modelo de selec ión lo ístico integro-dif rencial que describe la evolución de una población estructurada por un rasgo continuo cua titativo. Un ejemplo sería una población de individ os estructur da según la cantidad de carbono que cada individuo consume. El modelo ti e la siguiente dinámica ( , ) = [ ( , )] ( , ) o d ( , ) repr sent la de sida de individuos de rasgo en tiempo . Mientras q e [ ] es un operador de selec ión logístico, que define el fitness de cada individuo con r sgo . De cuerdo a la inámic adaptativa estudi r asintóticamente este tip de modelos es equivalente a encontrar las Estrategi s Evolutiv m nte Estables (ESS’s, n inglés), es decir, estrategias que son equilibrios de Nash del sistema y que mantienen una propiedad de estabilidad ante invasiones de mutantes. EES’s han sido studiados en el contexto de rasgos continuos, pero solo enfocándose en el caso competitivo [2], particularm nte bajo el supuesto de co petencia mínima, probando xistencia, estabilidad y convergencia de ESS. El objetivo de esta i v stigación es extender estos result d s para casos donde se permita cooperación, es decir, relajando el supuesto de co petencia mínima. Se pru ba l existencia de soluciones ac tadas y propiedades del fitness en este contexto para el c so cooperación. Mientra qu solo se demuest a la convergencia a ESS en el caso de cooperación recípro a. Numéricam nte se observ que los rasgos seleccionados en el largo plazo son los más cooperativos. Referencias [1] J. L. Sachs, U.G. Muller, T.P. Wilcox y J.J. Bull, The evolution of cooperation , The Quarterly Review of Biology 79 , 2004, 135-160 [2] L. Desvilletes, P. E. Jabin, S. Mischler nd G. Raoul, O selection dynamics for continuous structured populations, Communications on M thematical Sciences, Vol. 6(3) . International Press of Boston, (2008), 729-747. e esenta la densi ad in ividuos de rasgo y en tiempo t . Mien- tras que Matemáticas Aplicadas por un rasgo co tinuo: ción evolutiva. ablo A. Marquet 2 niversidad de Chile. rsidad Católica de Chile. cl dica que el contexto de evolución de los más adecuados sobreviven. En este sentido n. Sobre esto, notamos que el rol que la mientras que hay mucha evidencia en la vas [1], por lo que estudiar la cooperación ca. gístico integro-diferencial que describe la ativo. Un ejemplo sería una población de uo consume. El odelo tiene la siguiente ) mpo . Mientras que [ ] es un operador go . De acuerdo a la di ámica adaptativa ar las Estrategias Evolutivamente Estables el sistema y que mantienen una propiedad s en el contexto de rasgos continuos, pero o el supuesto de c mpetencia mínima, os donde se permita cooperación, es decir, de soluciones acotadas y pr piedades del e demuestra la convergencia a ESS en el sgos selecci nados en el largo plazo son tion of co p ration , The Quarterly n selection dynamics f r conti uous ences, Vol. 6(3) . International Press perador selección logístico, que define el fitness de cada individuo con rasgo y . De acuerdo a la dinámica adaptativa estudiar asintótica- mente este tipo de modelos es equivalente a encontrar las Estrategias Evoluti- vamente Estables (ESS’s, en inglés), es decir, estrategias que son equilibrios de Nash del sistema y que mantienen una propiedad de estabilidad ante invasiones de mutantes. EES’s han sido estudiados en el contexto de rasgos continuos, pero solo enfocándose en el caso competitivo [2] , particularmente bajo el supuesto de competencia mínima, probando existencia, estabilidad y convergencia de ESS. El objetivo de esta investig ció e extender esto re ultados para casos donde se permita cooperación, es decir, relajando el supuesto de competencia mínima. Se prueba la existencia de soluciones acotadas y propiedades del fitness en este contexto para el caso cooperación. Mientras que solo se demuestra la conver- gencia a ESS en el caso d cooperación recíproca. Numéricame te se bserva que los rasgos seleccionados en el largo plazo son los más cooperativos. __Referencias [1] J. L. Sachs, U.G. Muller, T.P. Wilcox y J.J. Bull, The evolution of cooperation , The Quarterly Review of Biology 79 , 2004, 135-160 [2] L. Desvilletes, P. E. Jabin, S. Mischler and G. R oul, On selection dyn mics for continuous structured populations , Communications on Mathematical Sciences, Vol. 6(3) . International Press of Boston, (2008), 729-747.