III Simposio de Postgrado 2025: Ingeniería, ciencia e innovación

146 Módulo Matemáticas Aplic. y Modelos Matemáticos Regularidad C 1,1 de funciones de probabilidad *E-mail: cchiu@dim.uchile.cl ¹ Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile ² R&D. Department OSIRIS, Électricité de France ³ Centre de Mathématiques Appliquées, École Nationale Supérieure des Mines de Paris ⁴ Centro de Modelamiento Matemático (CNRS UMI 2807), Universidad de Chile PARCIALMENTE FINANCIADO POR ANID 2024-21241565 Carolina Chiu ¹* Wim van Ackooij ² Welington de Oliveira ³ Pedro Pérez-Aros ¹ , ⁴ 09 __Referencias [1] W. van Ackooij and P. Pérez-Aros, Generalized differentiation of probability functions: parameter dependent sets given by intersections of convex sets and complements of convex sets, Appl. Math. Optim. 87, 273–311 (2023). doi:10.1007/s00245-022- 09844-5 Resumen Este trabajo estudia las condiciones bajo las cuales una función de probabilidad del tipo Matemáticas Aplicadas y Mod elamiento Matemát ico Regularidad 1 , 1 de Funciones de Probabilidad Carolina Chiu 1* ,Wim van Ackooij 2 , Welington de Oliveira 3 , Pedro Pérez-Aros 1,4 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 R&D. Department OSIRIS, Électricité de France. 3 Centre de Mathématiques Appliquées, École Nationale Supérieure des Mines de Paris. 4 Centro de Modelamiento Matemático (CNRS UMI 2807), Universidad de Chile. Parcialmente financiado por ANID 2024-21241565. *Email: cchiu@dim.uchile.cl Resumen Este trabajo estudia las condiciones bajo las cua les una función de p robabilidad del tipo ( ) = ( ( , ) ≤ 0 ), es de clase 1 , 1 . En este contexto, : " × # → $ define un sistema de inecuaciones aleatorio, ∊ " es un vector de decisión y es un vector aleatorio -dimensional definido sobre un espacio de probabilidad. Este tipo de funciones aparece de manera natural en modelos de optimización bajo incertidumbre, donde se exige que una restricción aleatoria se satisfaga con alta probabilidad: ( ) ≥ , siendo ∊ [ 0 , 1 ] un parámetro de confiabilidad. Una aplicación relevante corresponde a la gestión energética con componentes renovables, donde se deben tomar decisiones anticipadas considerando la generación intermitente (e.g., paneles solares) y demanda aleatoria. Las restricciones probabilísticas ayudan a asegurar que, en la mayoría de los casos, la energía generada sea suficiente para cubrir la demanda. Este tipo de modelos también se puede encontrar en finanzas (manejo de portafolios), flujo de redes (compromiso de unidades hidrotérmicas) y diversas aplicaciones ingenieriles en donde se deben tomar decisiones con incertidumbre. El análisis se fundamenta en una descomposición esférica radial del espacio de incertidumbre, lo que permite descomponer la integral de probabilidad a lo largo de direcciones sobre la esfera unitaria. A partir de esta estructura, se imponen condiciones de crecimiento sobre ciertas direcciones radiales, que pueden extenderse hasta el infinito, con el fin de controlar el comportamiento asintótico del sistema y caracterizar la regularidad de . Se establecen condiciones suficientes para que sea de clase 1 , 1 , es decir, diferenciable con derivada localmente Lipschitz. La identificación de condiciones que garantizan la clase 1 , 1 en funciones de probabilidad permite el uso de algoritmos más eficientes y robustos, como los métodos de gradiente o gradiente proyectado, en problemas de optimización con restricciones probabilísticas. Esto resulta clave para su aplicación efectiva en contextos ingenieriles y operacionales. Referencias [1] W. van Ackooij and P. Pérez-Aros, Generalized differentiation of probability functions: parameter dependent sets given by intersections of convex sets and complements of convex sets , Appl. Math. Optim. 87 , 273–311 (2023). doi:10.1007/s00245-022-09844-5 es de clase C ¹ , ¹. En este contexto, M temáticas Aplica as y Modelami nto M atemátic Regularidad 1 , 1 de Funciones de Probabilidad arolina Chiu 1* ,Wim van Ackooij 2 , Welington de Oliveira 3 , Pedro Pérez-Aros 1,4 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 R&D. Department OSIRIS, Él ct icité de France. 3 Centre de Mathématiques Appliquées, Écol Nationale Supérieure des Mines de Paris. 4 Centro de Modelamiento Matemático (CNRS UMI 2807), Universidad de Chile. Parc almente financiado por ANID 2024-21241565. *Email: cchiu@dim .uchile.cl Resumen Est rab jo estudia las condiciones b jo las cuales u a fun ción de probabil dad del tipo ) = ( ( , ) ≤ 0 ), s de clase 1 , 1 . En este context , : " × # → $ define un sistema de inecuaci nes aleatorio, " es un vector de decisión y es un vector aleatorio -dimensional definido sobre un espacio d probabilidad. Este tipo de funciones aparece de manera atural en modelos de optimización baj incerti umbre, donde se exige que una restricción aleatoria se satisfaga c n alta probabilidad: ( ) ≥ , siendo ∊ [ 0 , 1 ] un parámetro de confiabilidad. Una aplicación relevante corresponde a la g stión energética co compo entes renovable , donde s deben tomar decisiones anticipa as considera do la generación intermitente (e.g., pan les solares) demanda aleatoria. Las re tricciones probabilísticas yudan a asegurar que, en la mayoría de los casos la e rgía generada sea suficiente par cubrir la demanda. Este tipo de modelos también se pued encontrar en finanzas (manejo de portafolios), flujo de redes (compromiso de unidades hidrotérmicas y diversas aplicaciones ingenieriles en onde se deben tomar decisio es con inc rtidumbre. El análisis s fundamenta en una descomposición esférica radi l del spacio e inc rtidumbre, lo qu permite descomponer la integral de probabilidad a lo largo de direcciones sob e la esfera unitaria. A partir de esta estructura, se imponen con iciones d crecimi nto sobre ciertas direcc ones radiales que pueden extenderse hasta el infinito, con el fin de contr lar el comportamiento asintótico de sistema y caract rizar la regularidad de . Se establecen condiciones suficientes para que s a de clase 1 , 1 , es d cir, dif renciable con derivad localmente Lipschitz. La ide tificación de condiciones que garantizan la clase 1 , 1 en funciones d probabilidad permite el uso de algoritmos más eficientes y robustos, com lo métodos de gradient o gradi nte proyectado, en problemas de optimización con re tricciones probabilística . Esto result clave par su aplicación efectiva en contextos ingenieriles y operacionales. Referencias [1] W. van Ackooij and P. Pérez-Aros, Generaliz d differentiati n of probability functions parameter dependent sets given by intersections of convex sets and complements of convex sets , Appl Math. Optim. 87 , 273–311 (2023). doi:10.1007/s00245-022-09844-5 define un sistema de inecua- ciones al atorio, Mate áti cas Aplicadas y M d el miento Regularidad 1 , 1 de Funciones de Probabilidad Carolina Chiu 1* ,Wim van Ackooij 2 , Welington d Oliv ira 3 , Pedro Pérez-Aro 1 Depart mento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 R&D. Department OSIRIS, Électricité de France. 3 Centre de Mathématiques Appliquées, École Natio ale Supé i ur des Mines de Pa 4 Centro de M delamiento Matemático (CNRS UMI 2807), Universidad de Chile. Parcialmente financiado por ANID 2024-21241565. *Ema il: chiu@ dim.uchile.cl Resumen Este trabajo estud a la co ndiciones bajo las c uales una función e probabilidad del tipo ( ) = ( ( , ) ≤ 0 ), s de clas 1 , 1 . En este contexto, : " × # → $ define un sistema de inecuac nes ∊ " s un vector de decisión y es un vector aleat ri -dimen ional definido s br de probabilidad. Este tipo de fu cio es apar ce de manera natural en modelos de optim incertidumbre, dond se exige que una res ricción aleatori se s tisfaga con alta probabi ( ) ≥ , siendo ∊ [ 0 , 1 ] un parámetro e confiabilidad. Una aplicación releva te corresponde a la estión energética con comp entes renovab eben tomar de isiones anticipadas considerando la g n ración int rmite te (e.g., pane demand al a o ia. Las restricciones probabilística ayud n a asegurar que, en la mayoría l energía gene da sea suficiente p ra cubrir la d anda. Este t po de mo los tamb e contrar en finanzas (m nejo de portafolios), fluj de ede (compromiso de unidades hi y diversas aplicacio es ingenieriles en donde se deben tomar decisiones con incertidum El análisis se fundamenta en una descomposición esférica r d al el espaci de incertid permite descomponer la integra e probabilida a lo largo de direcciones sobre l esfer partir de esta estructura, se imponen condiciones de crecimi nto sob cierta direccio que pueden extenderse hasta el infinito, con el fin d controlar el comportamiento a sist ma y caract rizar la r gularidad de . Se establecen condiciones suficientes para que sea de clase 1 , 1 , es decir, diferenciable localmente Lipschitz. La identificación de condiciones que gar ntizan la clas 1 , 1 en probabilidad permite el uso de algoritmos más eficiente y robustos, como los métodos o gradiente proyectado, en problemas de optimización con restricciones probabilísticas clav par su aplicación efectiva en co textos ingenieriles y operacionales. Referencias [1] W. van Ackooij and P. Pérez-Aros, Generalized differentiation of probabilit parameter dependent sets given by intersections of convex sets and complements of conve Math. Optim. 87 , 273–311 (2023). doi:10.1007/s00245-022-09844-5 s un vector decisión y ξ es un v c r al atorio m-di- mensional definido sobre u espacio de probabilid d. Este tipo d funcion s apa- rece de manera natural en modelos de optimización bajo incertidumbre, donde se exige que una restricción aleatoria se satisfaga con alta probabilidad: Matemáticas Aplicadas y Modelamiento Matemático Regularidad 1 , 1 de Funciones de Probabilidad Carolina Chiu 1* ,Wi van Ackooij 2 , Welington de Oliveira 3 , Pedro Pérez-Aros 1,4 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 R&D. Depart ent OSIRIS, Électricité de Franc . 3 Centre de Mathématiques Appliquées, École Nationale Supérieure des Mines de Paris. 4 Centro de Modelamiento Mate ático (CNRS UMI 2807), Universidad de Chile. Parcialmente financiado por ANID 2024-21241565. *Email: cchiu@dim.uchile.cl Resumen Este trabajo estudia las condiciones bajo las cuales una función de probabilidad del tipo ( ) = ( ( , ) ≤ 0 ), es de clase 1 , 1 . En este contexto, : " × # → $ define un sistema de inecuaciones aleatorio, ∊ " es un vector de decisión y es un vector aleatorio -dimensional definido sobre un espacio de probabilidad. Este tipo de funciones aparece de manera natural en modelos de optimización bajo incertidumbre, donde se exige que una restricción aleatoria se satisfaga con alta probabilidad: ( ) ≥ , siendo ∊ [ 0 , 1 ] un parámetro de confiabilidad. Una aplicación relevante corresponde a la gestión energética con componentes renovables, donde se deben tomar decisiones anticipadas considerando la generación intermitente (e.g., paneles solares) y demanda aleatoria. Las restricciones probabilísticas ayudan a asegurar que, en la mayoría de los casos, la energía generada sea suficiente para cubrir la demanda. Este tipo de modelos también se puede encontrar en finanzas (manejo de portafolios), flujo de redes (compromiso de unidades hidrotérmicas) y diversas aplicaciones ingenieriles en donde se deben tomar decisiones con incertidumbre. El análisis se fundamenta en una descomposición esférica radial del espacio de incertidumbre, lo que permite descomponer la integral de probabilidad a lo largo de direcciones sobre la esfera unitaria. A partir de esta estructura, se imponen condiciones de crecimiento sobre ciertas direcciones radiales, que pueden extenderse hasta el infinito, con el fin de controlar el comportamiento asintótico del sistema y caracterizar la regularidad de . Se establecen condiciones suficientes para que sea de clase 1 , 1 , es decir, diferenciable con derivada localmente Lipschitz. La identificación de condiciones que garantizan la clase 1 , 1 en funciones de probabilidad permite el uso de algoritmos más eficientes y robustos, como los métodos de gradiente o gradiente proyectado, en problemas de optimización con restricciones probabilísticas. Esto resulta clave para su aplicación efectiva en contextos ingenieriles y operacionales. Referencias [1] W. van Ackooij and P. Pérez-Aros, Generalized differentiation of probability functions: parameter dependent sets given by intersections of convex sets and complements of convex sets , Appl. Math. Optim. 87 , 273–311 (2023). doi:10.1007/s00245-022-09844-5 , siendo Matemáticas Aplicadas y Modelamiento Matemático Regularidad 1 , 1 de Funciones d Probabilidad Carolina Chiu 1* ,Wim van Ackooij 2 , Welington de Oliveira 3 , edro Pérez-Aros 1,4 1 Departamento de Ingenierí Matemática, Universidad de Chile. 2 R&D. Department OSIRIS, Électricité de France. 3 Centre de Mathématiques Appliquées, École Nationale Supérieure des Mines de Paris. 4 Centro de Modelamiento Matemático (CNRS UMI 2807), Universidad de Chile. Parcialmente fi nanciado por ANID 2 024-21241565. *E mail: cchiu@dim.uchi le.cl Resumen Este trabajo estudia las condiciones bajo las cuales una función de probabilidad del tipo ( ) = ( ( , ) ≤ 0 ), es de clase 1 , 1 . En est contexto, : " × # → $ define un sistema d inecuaciones aleatorio, ∊ " es un vector de d cisión y es un vector aleatorio -dimension l definid obre un espacio de probabilidad. Este tipo de funciones aparece de manera natural en modelos de optimización bajo incertidumbre, donde se exige que una restricción aleatoria se satisfaga con alta probabilidad: ( ) ≥ , siend ∊ [ 0 , 1 ] un parám tro e confiabilidad. U a ap icación r levante corr sponde a a gestión energética con omponentes r novable , donde e d ben toma deci iones anticipadas conside ndo la generación intermi e te (e.g., paneles solar s) y demanda aleatoria. L s rest iccio es probabilísticas ayudan a asegurar que, en la mayorí de los casos, la energía gener da sea sufic ente para cubrir la dema a. E te tipo de modelos también se puede encontrar en finanzas (manejo de portafolios), flujo de redes (compromiso de unida s hidrotérmicas) y diversas aplicaci nes genieril s en donde se deben tomar de isione con incertidumbr . El análisis se fund menta n una descomp sición esférica radial d l espacio e incertidumbr , lo que permite descomponer la integral d probabilidad a lo arg de direcciones s bre l e fera unitaria. A partir de es a est uctura, se mpon n condiciones e cr cimiento sobre ciertas direcciones radiales, que pueden extenderse hasta el infinit , con el fi de controlar el comportamiento asintótico del sistema y caracterizar la r gularidad de . Se establec n condici nes suficientes para que sea de clase 1 , 1 s decir, diferenciable con derivad localm nte Lipschitz. La identificación de condic ones que gara tizan la cla 1 , 1 en funci nes de probabilid d permite el uso d algoritmos más efic e tes y obust s, com los métodos de gradiente o gradiente proyectado, en problemas de optimización con restricciones probabilísticas. Esto resulta clave para su aplicación efe tiva en contextos ingenieriles y operacionales. Referencias [1] W. van Ackooij and P. Pérez-Aros, Generalized differentiation of probability functions: parameter dependent sets given by intersections of convex sets and complements of convex sets , Appl. Math. Optim. 87 , 273–311 (2023). doi:10.1007/s00245-022-09844-5 un parámetro de co fiabilida . Una aplicación relevante corresponde a la gestión energética con componentes renovables, donde se deben tomar decisiones anticipadas considerando la ge- neración intermitente ( .g., neles solar s) y demanda al atoria. Las restriccio- nes probabilísticas ayudan a asegurar que, en la mayoría de los casos, la energía generada sea suficiente para cubrir la demanda. Este tipo de modelos también se puede e contrar en finanzas (manejo de portafolios), flujo de redes (compr - miso de unidades hidrotérmicas) y diversas aplicaciones ingenieriles en do de se deben tom decisiones con i certidumbre. El análisis se fundamenta en una d composición esférica radial del espacio d incertidumbre, lo que permite descomponer la integral de probabilidad a lo largo de direcciones sobre la esfera unitaria. A partir de esta estructura, se imponen condiciones de crecimiento sobre ciertas direcciones radiales, que pueden exten- derse hasta el infinito, con el fin de controlar el comportamiento asintótic del sistema y car cterizar la regularidad de φ . Se establecen condiciones suficientes para qu φ sea de clase C ¹ , ¹, es decir, dife- renciable con derivada localmente Lipschitz. La identificación de condiciones que garantizan la clase C ¹ , ¹ en funciones de probabilidad p rmite el uso de algoritmos más eficientes y robustos, como los métodos de gradie te gradiente proy cta- do, en problemas de optimización con re tricciones probabilísticas. Esto resulta clave para su aplicación efectiva en contextos ingenieriles y operacionales.