III Simposio de Postgrado 2025: Ingeniería, ciencia e innovación

145 Diego Olguín ¹ , ²* Héctor Ramírez ¹ , ² Axel Osses ¹ , ² Algoritmo de filtraje no lineal basado en operador de Koopman, aplicado a epidemiología ¹ Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile ² Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile *E-mail: dolguin@dim.uchile.cl 09 __Referencias [1] Kalman, R. E., “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”, Tran sactions of the ASME–Journal of Basic Engineering, vol. 82, no. Series D, pp. 35–45, 1960, 10.1115/1.3662552. [2] Maurel, M. C. y Michel, D., “Des resultats de non existence de filtre de dimension finie”, Stochastics, vol. 13, no. 1-2, 1984, 10.1080/ 17442508408833312. [3] Crisan, D. y Doucet, A., “A survey of convergence results on particle filtering methods for practitioners”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 3, 2002, 10.1109/78.984773. [4] Brunton, S., Budišić, M., Kaiser, E., y Kutz, N., “Modern Koopman Theory for Dynamical Systems”, SIAM Review, vol. 64, no. 2, pp. 229–340, 2022, 10.1137/21M1401243. Resumen El problema de filtraje consiste en la reconstrucción de trayectorias a partir de observaciones parciales y ruidosas de un sistema dinámico [1] . Este problema, recurrente en ingeniería y ciencias, ha captado la atención de diversas áreas de investigación y múltiples autores desde el siglo pasado. Se sabe que para siste- mas generales este problema no tiene una solución que ocupe memoria finita [2] , lo que obliga a buscar aproximaciones sub-óptimas del problema. Si bien existen métodos clásicos como el Extended Kalman Filter (EKF) o el Uns- cented Kalman Filter (UKF), estos carecen de garantías teóricas de optimalidad. Por otro lado, enfoques más robustos, como los Particles Filters, ofrecen cotas de error asintóticas, típicamente del orden MATEMÁTICAS APLICADAS Y MODELAMIENTO MATEMÁTICO Algoritmo de filtraje no lineal basado en operador de Koopman, aplicado a epidemiología Diego Olguín 1,2* , Héctor Ramírez 1,2 , Axel Osses 1 , 2 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile. *Email: dolguin@dim.uchile.cl Resumen El problema de filtraje consiste en la reconstrucción de trayectorias a partir de observaciones parciales y ruid sas de un sist ma dinámico [1]. Este problema, recurrente en ingeniería y ciencias, ha captado la atención de diversas áreas de investigación y múltiples autores desde el siglo pasado. Se sabe que para sistemas generales este problema no tiene una solu ión que ocupe m mori finita [2], lo que obliga a buscar aproximaciones sub-óptimas del problema. Si bien existen métodos clásicos como el Extended Kalman Filter (EKF) o el Unscented Kalman Filter (UKF), estos carecen de garantías teóricas de optimalidad. Por otro lado enfoques más robustos, como los Particles Filters, ofrecen cotas de error asintóticas, típicamente del orden ( !"/$ ) [3], pero pueden resultar computacionalmente costosos. En esta tesis se propuso un algoritmo de filtraje no lineal: Koopman Kalman Filter (KKF). Este funciona para un caso general utilizando la teoría del operador de Koopman [4], que en la última década ha experimentado un resurgimiento significativo en las comunidad s que estudian sistemas dinámicos basados en datos, junto con la de los Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS), ampliamente utilizada en el ámbito del aprendizaje de máquinas. Como resultados, se dedujo una cota de error de aproximación del operador, que se utilizó para dar una cota de error de ( !"/$ ) para el filtro no lineal creado. Se realizaron experimentos numéricos para comparar el algoritmo propuesto con los filtros no lineales existente , para ejemplos en epidemiología, que son naturalmente no lineales. Además, se aplica el filtro en la estimación de parámetros, compitiendo con algoritmos de tipo MCMC con samplers como No-U-Turn Sampler (NUTS). Los resultados demuestran que el algoritmo propuesto no solo es competitivo, sino que en muchos casos supera a los métodos mencionados, tanto en precisión como en tiempo de ejecución. Referencias [1] Kalman, R. E., “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”, Transactions of the ASME–Journal of Basic Engineering, vol. 82, no. Series D, pp. 35–45, 1960, 10.1115/1.3662552. [2] Maurel, M. C. y Michel, D., “Des resultats de non existence de filtre de dimension finie”, Stochastics, vol. 13, no. 1-2, 1984, 10.1080/17442508408833312. [3] Crisan, D. y Doucet, A., “A survey of convergence results on particle filtering methods for practitioners”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 3, 2002, 10.1109/78.984773. [4] Brunton, S., Budišić, M., Kaiser, E., y Kutz, N., “Modern Koopman Theory for Dynamical Systems”, SIAM Review, vol. 64, no. 2, pp. 229–340, 2022, 10.1137/21M1401243. [3] , pueden resultar com- putacionalmente costosos. En esta tesis se propuso un algoritmo de filtraje no lineal: Koopman Kalman Filter (KKF). Este funciona para un caso general utilizando la teoría del operador de Koopman [4] , que en la última década ha experimentado un resurgimiento signi- ficativo en las comunidades que estudian sistemas dinámicos basados en datos, junto con la de los Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS), ampliamente uti- lizada en el ámbito del aprendizaje de máquinas. Como resultados, se dedujo una cota de error de aproximación del operador, que se utilizó para dar una cota de error de MATEMÁTICAS APLICADAS Y MODELAMIENTO MATEMÁTICO Algoritmo de filtraje no lineal basado en operador de Koopm n, aplicado a epidemiología Diego Olguín 1,2* , Héctor Ramírez 1, 2 , Axel Osses 1 , 2 1 Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile. 2 Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile. *Email: dolgui @dim.uchile. l Resumen El problema de filtraje consiste en la reconstrucción de trayectorias a partir de observaciones parciales y ruidosas de un sistema dinámico [1]. Este problema, recurrente en ingeniería y ciencias, ha captado la atención de diversas ár as de investigación y múltiples autores es e el siglo pasado. Se sabe que para sistemas generales este problema no tiene una solución que ocupe me oria finita [2], l que obliga a buscar aproximaciones sub-óptimas del problema. Si bien existen métodos clásicos como el Extended Kalman Filter (EKF) o el Unscented Kalman Filter (UKF), estos carec n de garantías teóricas de optimalidad. Por otro lado, e foques más robustos, como los Particles Filters, ofrecen cotas de error asintóticas, típicamente del orden ( !"/$ ) [3], pero pueden resultar computacionalmente costosos. En esta tesis se propuso un algoritmo d filtraje no lineal: Koopman Kalman Filter (KKF). Este funciona para un caso general utilizando la teoría del operador de Koopman [4], que en la última década ha experimentado n resurgimi nto sig ificativo n las comunidades que studian sistema dinámicos basados en datos, junto con la de los Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS), ampliamente utiliz da en el ámbito del aprendizaje d máqui as. Como resultados, se dedujo una cota de error de aproximación del operador, que se utilizó para dar una cota d error de ( !"/$ ) para el filtro no lineal creado. Se realizaron experimentos numéricos para comparar el algoritmo propuesto con los filtros no lineales existentes, para ejemplos en epidemiología, que son naturalmente no lineales. Además, se aplica el filtro en la estimación de parámetros, compitiendo con algoritmos de tipo MCMC con samplers como No-U-Turn Sampler (NUTS). Los resultados demuestran que el algoritmo propuesto no solo es competitivo, sino que en muchos casos supera a los métodos mencionados, tanto en precisión como en tiempo de ejecución. Referencias [1] Kalman, R. E., “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems”, Transactions of the ASME–Journal of Basic Engineering, vol. 82, no. Series D, pp. 35–45, 1960, 10.1115/1.3662552. [2] Maurel, M. C. y Michel, D., “Des resultats de non existence de filtre de dimension finie”, Stochastics, vol. 13, no. 1-2, 1984, 10.1080/17442508408833312. [3] Crisan, D. y Doucet, A., “A survey of convergence results on particle filtering methods for practitioners”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 3, 2002, 10.1109/78.984773. ara el filtro no lineal crea- do. Se realizaron experimentos nu éricos p ra comparar el algoritm propuesto con los filtros no lineales existentes, para ejemplos en epidemiología, que son naturalmente no lineales. Además, se aplica el filtro en la estimación de paráme- tros, compitiendo con algoritmos de tipo MCMC con samplers como N -U-Turn Sampler (NUTS). Los resultados demuestran que el algoritmo propuesto no solo es competitivo, sino que en muchos casos supera a los métodos mencionados, tanto en precisión como en tiempo de ejecución.