Página 134 - Estadística descriptiva, probablilidad e inferencia: una visión conceptual y aplicada

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7.4 Intervalos de Confianza para Proporciones.
El desarrollo sigue un esquema similar al utilizado para intervalos de confianza para la
media de distribuciones normales.
Intervalo de confianza para una proporción.
El estadígrafo Z , se utilizará como variable pivotal y dado que
œ ¸ RÐ! ß "ÑTTs
TUÎ8 È
Prob Prob
Ð  D Ÿ ^ Ÿ D œ "  Ê Ð  D Ÿ Ÿ D ¸ " 
" Î# " Î# " Î# " Î# ! ! ! ! ) ) , pero
! ! TTs
TUÎ È n
ahora la probabilidad del intervalo es sólo aproximada. Despejando en la desigualdadT
anterior se establece que ) . Sin Prob n n
ÐT  D TUÎ Ÿ T Ÿ T  D TUÎ ¸ "  s s
" Î# " Î# ! ! È È !
embargo, como es lo que se está estimando la no es conocida, por lo cual
T Z ÐT Ñ œ TUÎs n
se debe utilizar su estimador , pero aunque debería tener
Z ÐT Ñ œ T Ð"  T ÑÎ œ TUÎs s s s s s n n TTs
TUÎs s É n
aproximadamente una distribución de Student por estar utilizando una varianza estimada,>
resulta que si es grande , luego por doble aproximación n >Ð8  "Ñ ¸ RÐ! ß "Ñ
Prob n n
ÐT  D TUÎ Ÿ T Ÿ T  D TUÎ ¸ "  s s s s s s
" Î# " Î# ! ! É É ) , de donde
!
ÐT  D TUÎ8 Ÿ T Ÿ T  D TUÎ8 s s s s s s
" Î# " Î# ! ! É É )
Intervalo del 100(1 % aproximado de confianza para Ñ T !
Ejemplo 4.1
Un organismo de defensa al consumidor examinó 100 latas de atún envasadas por cierta
industria encontrando que 9 de ellas estaban en mal estado. En un intervalo de confianza del
95%, ¿ cuál es la proporción de latas en mal estado de la producción total de la industria?
Para el intervalo de confianza se requiere ;
T œ œ !ß !* TUÎ8 œ œ !ß !#* s s s *
"!! "!!
!ß!*‡!ß*" É É
y z al 95%
!ß*(& œ "ß *' Ê Ð!ß !*  "ß *'‡!ß !#* Ÿ T Ÿ !ß !*  "ß *'‡!ß !#*Ñ Ê Ð!ß !$$ Ÿ T Ÿ !ß "%(Ñ
aproximado de confianza. Puede apreciarse que el rango estimado va entre 3,3% y 14,7% de
latas en mal estado, que es una estimación con poca precisión.
Mejor, entonces, es plantearse que si se desea tener una estimación con una precisión o
error de muestreo menor al 3% y una confianza del 95% ¿ cuál debería ser el tamaño
muestral requerido ? Como resultará bastante mayor que 100, que es el tamaño de muestran
ya utilizado, para una precisión de un %, semi longitud del intervalo anterior, y recordando
&ß (
que el error de
muestreo en una distribución normal está dado por se tiene que
D TUÎs s
" Î#! É n
D TUÎ8  Ê "ß *'‡ !ß !*‡!ß *"Î 8  !ß !$ Ê 8  "ß *'‡ !ß !*‡!ß *"Î!ß !$s s
" Î#! É È È È È
0,03
Ê 8  ")ß '*( Ê 8  $%*ß ' € È , luego 350. Es decir, para ese nivel de precisión se n
necesitaría examinar por lo menos 350 latas seleccionadas al azar. Con ese tamaño de
muestra se tendría una estimación de la verdadera proporción de latas en mal estado, en unT
rango de 0,03, es decir, una estimación con un 3% de error y una confianza del 95%.T „