Innovar y transformar desde las disciplinas: experiencias claves en la educación superior en América Latina y el Caribe 2021-2022

3 • ¿C ómo surge el conjunto de los números reales? • ¿ En qué formas puede construirse este conjunto? • ¿ Qué diferencias existen entre la construcción que plantea Richard Dedekind ver- sus la construcción de Georg Cantor? Para responder a estas preguntas , se requiere un estudio detallado de los conceptos, axiomas y propiedades del campo de los números racionales, así como de las demos- traciones que pe rmiten establecer un “nuevo conjunto” , ya sea formado por las clases de equivalencia de sucesiones (de números racionales) de Cauchy o por las “cortadu- ras” definidas por Dedekind. Sin embargo, resulta difícil, explorar “el origen” de los números reales , a través de algoritmos o cálculos numéricos. En definitiva, se requiere de un manejo adecuado de las técnicas y funciones de la demostración para la com- prensión lógica que sigue la construcción de este conjunto , ya que , como menciona Crespo (2005b) , una de l as funciones de la demostración es de descubrimiento. Esta va más allá de la intuición y surge de las propiedades que cumple cierto objeto y que se describen con argumentación deductiva. Referente al ejemplo anterior, la construcción de los números reales forma parte del currículo de los futuros profesores que , a su vez, deben enfrentarse a la eventual tarea de introducir a sus alumnos de secundaria en el estudio del conjunto de los nú- meros reales y sus subconjuntos más conocidos. Por esta razón deberá n tener un vasto conocimiento sobre este conjunto. Como punto de partida , el docente debe ser capaz de responderse a sí mismo algunas preguntas que pueden surgir en una clase de ma- temática de enseñanza media por parte de los estudiantes como: • ¿ De dónde salen los números reales? • ¿ Quién los inventó? • ¿ Para qué sirven? Ahora, ¿está el profesor en capacidad de responder estas preguntas de forma es- pontánea? De lo contario, cómo podría un docente desarrollar procesos de enseñanza y aprendizaje sobre un objeto que no conoce adecuadamente. Se requiere conocer este conjunto con profundidad y las formas en que se ha construido , a través de la formali- zación lógica , para poder brindar una respuesta acertada a estas tres preguntas que parecen muy simples, pero que conllevan a una abstracción muy grande. Por su parte, Jaramillo y Sánchez (2014) presenta n una propuesta novedosa para construir los números reales , desarrollada por Fred Richman, en contraposición a la presentación axiomática que realizan los docentes en la enseñanza media. S in embar- go, se requiere una comprensión inicial de los métodos de Cantor y Dedekind para poder contrastar las ventajas de esta última en la formación de estudiantes en análisis real como futuros profesores. Estas construcciones presentan un alto grado de forma- lidad, el cual, solamente , a través de un manejo consolidado de las diferentes técnicas de demostración matemática , alcanzará el estudiante de análisis real la comprensión de los conceptos y las proposiciones involucradas, donde la intuición puede consti- tuirse en un obstáculo. 453